随机变量与分布：离散、连续及常见概率模型

"第二章 随机变量及其分布（2022）总.pdf" 在概率论与数理统计的学习中，随机变量是至关重要的概念，它将随机试验的结果与实数联系起来，便于对随机现象进行数学建模和统计分析。本章节主要讲解随机变量的类型、分布以及它们的数字特征，包括离散型和连续型随机变量、概率分布、分布函数以及随机变量函数的分布。 1. **随机变量** - 引入随机变量的原因在于，为了深入研究随机试验的统计特性，我们需要将不确定的结果转化为可量化的形式。这可以通过将每个可能的结果赋予一个实数值来实现。 - 随机变量分为离散型和连续型。离散型随机变量的取值是有限或可数无限的，如投掷骰子的点数；连续型随机变量则可以取任意实数，如人的身高。 2. **概率分布** - 离散型随机变量通过概率分布列描述，它列出所有可能的值及其对应的概率。 - 连续型随机变量使用概率密度函数（PDF），其中函数值表示在某一区间内取值的概率密度。 - 分布函数是概率分布的另一种表达方式，它可以给出随机变量小于或等于任何特定值的概率。 3. **数字特征** - 数学期望（均值）代表随机变量平均的期望值，反映了随机变量的集中趋势。 - 方差衡量随机变量值的离散程度，是衡量数据波动性的关键指标。 - 其他数字特征还包括标准差、偏度和峰度，它们提供了关于数据分布形状的更多信息。 4. **常见分布** - 退化分布：当随机变量只取一个确定值时，其概率为1。 - 两点分布：只有两种可能结果的离散随机变量，如抛硬币。 - 二项分布：在n次独立的伯努利试验中成功的次数。 - 几何分布：描述独立重复实验直至第一次成功所需试验次数。 - 超几何分布：不放回抽样中特定类别个体出现的次数。 - 泊松分布：描述单位时间或空间区域内随机事件发生的次数。 - 正态分布（高斯分布）：广泛存在于自然和社会科学中，具有对称钟形曲线。 - 指数分布：描述独立事件发生的时间间隔。 - 均匀分布：随机变量在一定区间内均匀分布的概率。 5. **随机变量函数的分布** - 计算随机变量函数的分布，通常需要知道原随机变量的分布，然后应用变换法则。 6. **数学期望的计算** - 对于离散型随机变量，数学期望是各值与其概率乘积的和。 - 对于连续型随机变量，它是概率密度函数与随机变量的乘积在全实数域上的积分。 本章的教学内容不仅限于理论，还强调了实际应用和数学家的贡献，如中国学者彭实戈在非线性数学期望领域的突出工作，这不仅拓展了学生的学术视野，也培养了他们的爱国情怀和对前沿知识的兴趣。通过这些知识的学习，学生将能够解决更复杂随机现象的概率问题，包括在金融数学中的应用。