G'/G 方法下的组合KdV-Burgers方程行波解与非线性演化解析

本文主要探讨了利用 "(G'/G)" 方法求解组合KdV-Burgers方程的行波解，这是一种在2008年由李二强和王明亮两位学者发表在《河南科技大学学报:自然科学版》上的研究成果。该论文是在自然科学领域，特别是数学与物理学交叉的非线性演化方程研究中的一项重要贡献。 组合KdV-Burgers方程是一种广泛应用于描述自然界中非线性现象的数学模型，其非线性特性使得精确解的寻找变得复杂。作者们采用 "(G'/G)" 方法，这是一种相对较新的求解策略，这种方法以其直接、简洁的特点受到关注。这种方法的核心步骤包括： 1. **行波解的假设**：首先假设原方程的解可以形式化为行波形式 u(x,t) = U(ξ)，其中 ξ = x - ct，c 是一个待定常数，这将原问题转化为一阶偏微分方程（ODE）。 2. **方程转化**：将行波形式代入原方程，使得原方程转化为只关于变量 u(ξ) 的ODE，即 Q(u, u', u'', ..., u^N) = 0。 3. **(G'/G)多项式表示**：假设 u(ξ) 可以表示为一个关于 "(G'/G)" 的多项式，其中 G(ξ) 满足二阶线性ODE，即 G''(ξ) + λG(ξ) = 0，λ 是另一个待定参数。 4. **确定未知数**：通过解这个二阶线性ODE，可以得到 G(ξ) 的形式，进而确定 u(ξ) 和其导数的表达式，从而找到行波解。 5. **特殊解的发现**：文中指出，当双曲函数表示的行波解中的参数取特定值时，可以得到已知的孤立波解，这是对现有理论的一个补充。 6. **方法的有效性**：作者强调 "(G'/G)" 方法作为求解非线性演化方程行波解的一种方法，具有直接、简洁、基本且实用的特点，适用于其他同类方程的求解，体现了其广泛的适用性。 这篇论文不仅提供了组合KdV-Burgers方程的行波解表达式，还验证了 "(G'/G)" 方法作为一种有效的求解策略，对于推动非线性演化方程领域的理论研究和技术应用具有重要意义。通过这种方法，科学家们能够更好地理解和解决自然界中复杂的非线性动力学问题。