离散时间信号处理：傅里叶变换与Z变换在数字滤波器中的应用

"现代信号处理课堂笔记整理" 现代信号处理是信息技术中的核心领域，主要涉及对信号的获取、分析、处理和传输。这篇课堂笔记整理涵盖了离散时间信号处理的基础知识，包括离散时间系统的概念、傅里叶变换、z变换以及数字滤波器的设计。 1. 离散时间系统 - 系统分类：线性系统、时不变系统、因果系统和稳定系统。线性系统满足叠加原理，时不变系统意味着系统对输入信号的处理不会因时间变化而变化。因果系统是指当前输出仅由过去和现在的输入决定，而稳定系统则确保输出不会因无限期的输入历史而无限增长。 2. 傅里叶变换 - 离散时间傅里叶变换(DTFT)用于将离散时间信号转换到频域，它包括实部和虚部，分别代表幅度谱和相位谱。离散时间傅立叶逆变换(IDTFT)则是从频域回到时域的过程。 - 当序列的DTFT不存在时，通常是因为其绝对值大于1，导致傅里叶频谱的求和不收敛。 - 通过傅里叶变换，可以得到系统的频率响应，并据此构建差分方程来描述系统的动态行为。 3. z变换 - 双边z变换是离散时间信号处理中的一个重要工具，它将离散序列转换为z域的函数，有助于分析系统的稳定性。ROC是z变换存在的区域，通常为环形。 - 逆z变换则用于从z域回到时域，可以通过部分分式展开等方法进行计算。笔记中列举了各种典型序列的z变换和逆变换例子，如单位脉冲序列、单位阶跃序列等。 4. 数字滤波器 - LTI系统在时域表现为卷积，而在z域表现为乘法。系统函数H(z)揭示了系统的特性，其零点和极点分布决定了滤波器的行为。 - FIR系统（有限冲击响应）的单位脉冲响应是有限长的，其系统函数没有极点；而IIR系统（无限冲击响应）的系统函数是分式形式，有多个极点，可能导致无限长的响应。 - 系统的稳定性、因果性和最小相位性质与零极点位置密切相关。BIBO稳定性要求所有极点位于单位圆内，而因果系统的所有零点也应位于单位圆内。 这些基本概念构成了现代信号处理的基石，对于理解和设计数字信号处理算法，如滤波、降噪、压缩和通信系统中的信号调制解调，至关重要。深入学习这些内容，能够帮助我们更好地处理和理解现实世界中的各种信号。