傅立叶分析：连续时间信号的时间与频率尺度变换

"时间和频率标度-连续时间信号的傅立叶分析" 本文主要探讨的是连续时间信号的傅立叶分析，特别是时间和频率标度的概念。傅立叶分析是信号处理和系统理论中的基础工具，它允许我们将复杂的时间域信号转换到频域进行分析。 信号与系统的研究中，一个关键点是信号的分解。任何连续时间信号f(t)都可以表示为无限多个单位冲激响应δ(t)的时移和。公式(3.1.1)展示了这一概念，即信号f(t)可以通过对其各个部分进行卷积积分来表示，这些部分是由δ(t)的时移版本组成，体现了信号的线性时不变（LTI）特性。 当信号在时域上被压缩或扩展时，其傅立叶变换会相应地在频域上发生扩展或压缩，这就是所谓的傅立叶变换的尺度变换特性。举例来说，如果信号f(t)在时域上被压缩到原来的一半，那么它的傅立叶变换F(ω)将在频域上扩展两倍。这个关系可以通过公式(3.4.10)来表达。 在LTI系统分析中，复指数信号扮演了重要角色。复指数信号e^(st)通过LTI系统后，其输出可以表示为输入信号的傅立叶变换H(s)与原信号的乘积，即y(t)=H(s)e^(st)，其中H(s)是系统的传递函数，s是复频率变量。这个关系在公式(3.1.5)和(3.1.7)中体现。 考虑信号f(t)可以被表示为不同权重的复指数信号k*ae^(st)的和，根据系统的线性和LTI特性，每个复指数信号通过系统的响应可以通过传递函数H(s)单独计算，然后将所有响应相加得到总响应。公式(3.1.10)展示了这个思想，即y(t)是所有k的响应a_k*H(s_k)e^(s_k*t)的和。 这种分解方法使得我们能够理解信号如何在LTI系统中传播，并且通过分析复指数信号的响应，可以揭示系统的行为和特性。在工程和科学领域，这种傅立叶分析方法对于理解和设计滤波器、通信系统以及其他信号处理应用至关重要。通过深入研究这些概念，我们可以更好地掌握连续时间信号的频域表示以及它们与时域变化之间的联系。