sigmoidal神经网络逼近φ-有界变差函数：误差分析与扩展

本文主要探讨了神经网络在数值分析中的应用，特别是针对在区间[a, b]上的φ-有界变差函数的逼近问题。φ-有界变差函数是一种在数学分析中具有重要意义的函数类，它描述了一类在有限区间内变化幅度受到限制的函数。作者石林蜜和谢庭藩聚焦于使用单隐藏层神经网络，其激活函数选择有界的sigmoidal函数（一种常用的连续可微非线性函数）来近似这类函数。 研究的核心内容是通过计算sigmoidal函数的性质，确定单隐藏层神经网络的逼近偏差。具体来说，当激活函数为sigmoidal函数时，神经网络的逼近偏差被量化为σ-1函数作用于函数f在区间[a, b]上的φ-有界变差减去神经元数量n后的值。这表明随着神经元的增加，网络的逼近精度会提高，与标准的误差理论相符。 值得注意的是，文章还特别提及了一个特殊情况，即当激活函数改为Heaviside函数时，逼近偏差将变为φ-1函数作用于同样差分量减去2n的结果。Heaviside函数是一种特殊的阶跃函数，其结果与sigmoidal函数相比，逼近性能有所不同。 在第三部分，作者扩展了他们的研究成果，将这些理论推广到了整个实数轴上，这意味着理论不仅限于特定的区间，而是适用于更广泛的函数空间。这是一项重要的贡献，因为它拓宽了神经网络在实际应用中的适用范围，尤其是在信号处理、图像识别等领域，可以处理更复杂、全局性的函数特性。 这篇论文提供了关于如何利用神经网络逼近φ-有界变差函数的重要理论基础，这对于理解神经网络的表达能力和优化算法设计具有深远影响。通过深入分析激活函数的选择及其对逼近精度的影响，该研究有助于提升神经网络在实际问题中的准确性和效率。