计算几何基础：叉积与点积的理论与应用

"该资源是一份关于计算几何学的PPT，主要介绍了计算几何的基本工具——叉积和点积，并探讨了计算几何中常见的问题，如线段、多边形和凸包等。此外，还涉及到最近最远点的计算。" 在计算几何中，叉积和点积是两个非常重要的基本工具，它们被广泛用于解决几何形状的相对位置、方向判断等问题。 1. 叉积（外积）： 叉积可以理解为两个有向线段（向量）构成的平行四边形的有向面积。给定向量op1=(x1, y1)和op2=(x2, y2)，它们的叉积表示为op1×op2，计算公式为op1×op2 = x1y2 - x2y1。这个值等于两向量长度乘积与它们夹角的正弦值的乘积。根据叉积的符号，我们可以判断两个向量的方向关系：如果叉积大于0，那么向量op1到op2是逆时针方向，即op2位于op1的左侧；如果叉积小于0，则是顺时针方向，op2位于op1的右侧；若叉积等于0，表示两向量共线。 2. 点积（内积）： 点积表示一个向量在另一个向量上的投影与其长度的乘积。对于向量op1和op2，其点积op1·op2 = x1x2 + y1y2。点积的几何意义可以用来判断向量的方向：如果点积大于0，那么op1（或者op2）指向op2（或者op1）的前方，共线时取得最大值；如果点积小于0，op1（或者op2）指向op2（或者op1）的后方，共线时取得最小值；若点积等于0，则说明两个向量垂直。 在计算几何中，叉积和点积经常被用来解决以下问题： - **线段和多边形**：通过判断线段是否相交，多边形的边是否形成内部等。 - **凸包**：求解一组点的最小凸包，可以利用点积进行朝向判断，快速筛选出边界点。 - **最近最远点**：寻找两个几何对象之间的最近点或最远点，可能需要计算点到线段、点到多边形等的距离，这些都涉及到叉积和点积的应用。 理解和熟练运用叉积与点积是掌握计算几何的关键，它们能够帮助我们有效地处理几何形状的关系，进行各种计算和判断。在实际应用中，这些概念和方法广泛应用于图形学、物理模拟、路径规划等领域。