施密特正交化与正交矩阵练习：第5章课后习题详解

本章节主要围绕矩阵理论及其应用展开，涉及的内容包括向量组的正交化与单位化、正交矩阵的判断、矩阵的性质与特征值、以及矩阵的相似性和对角化等问题。具体知识点如下： 1. 向量组操作：习题要求对两个向量组（\( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \) 和 \( \mathbf{a}_1', \mathbf{a}_2', \mathbf{a}_3' \)）进行施密特正交化，这是一种线性代数中的标准化过程，使得向量之间的内积变为零或一，便于后续计算和分析。然后需要将这些正交化的向量再转换为单位向量。 2. 正交矩阵判断：学生需要检查给出的两个矩阵是否为正交矩阵，正交矩阵的定义是其行（或列）向量两两正交且长度为1，即满足 \( A^TA = AA^T = I \)。对于每个矩阵，需要验证它们的行列式是否等于1，以及乘积是否等于单位矩阵。 3. 对称矩阵与正交矩阵的证明：第一部分要求证明一个 \( n \) 维向量 \( \mathbf{x} \) 的转置与其自身点积为1时，矩阵 \( H = I - 2\mathbf{x}\mathbf{x}^T \) 是对称且正交的。这是利用向量的性质和矩阵运算来推导的。 4. 正交矩阵的乘积：如果 \( A \) 和 \( B \) 都是正交矩阵，那么它们的乘积 \( AB \) 也是正交的，因为正交矩阵的乘法保持了正交性，即 \( (AB)^T(AB) = B^TA^TA^TB = BB^T = I \)。 5. 向量组的线性表示和单位化：对于一组两两正交的单位向量 \( \mathbf{a}_1, \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3 \)，需要证明新的向量组合 \( \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3 \) 也具有同样的性质。 6. 特征值与特征向量的计算：涉及到具体矩阵的特征值求解和特征向量的寻找，这在理解矩阵行为和结构中至关重要，尤其是对于矩阵的对角化过程。 7. 矩阵的特征值和对称性：矩阵的转置与其自身的特征值关系，以及如何证明矩阵对称性与正交性之间的联系。 8. 矩阵的秩与特征向量的关系：若两个矩阵的秩之和小于矩阵的维度，它们可能存在共同的特征值和特征向量。 9. 关于矩阵多项式的特征值：通过给出的矩阵多项式表达式，要求学生找到矩阵 \( A \) 的特征值，如 \( A^2 - 3A + 2E \)。 10. 正交矩阵的特征值：当正交矩阵的行列式为-1时，其特征值中必然包含-1。 11. 特征值的传递性：如果一个矩阵和另一个矩阵的乘积的特征值是某个数，那么这个数也必定是原矩阵的一个特征值。 12. 矩阵幂的特征值计算：通过矩阵 \( A \) 的特征值来计算 \( A^3 - 5A^2 + 7A \) 的行列式。 13. 矩阵的加减与特征值：同样基于特征值，计算含有矩阵乘法和常数项的表达式的行列式。 14. 相似矩阵的性质：若矩阵 \( A \) 可逆，矩阵 \( AB \) 和 \( BA \) 相似，这是矩阵乘法和相似性的基本性质。 15. 对于矩阵 \( A \) 的特征值问题，涉及到参数 \( a \) 和 \( b \) 的求解，以及矩阵是否能对角化的判断。 16. 矩阵的特征向量和相似性：给出一个特征向量和矩阵 \( A \)，要求找出对应的特征值，并判断矩阵的对角化可能性。 17. 最后一个问题可能涉及到特征值、特征向量的综合应用，或者可能是矩阵与向量的更深入关系，但具体细节未给出。 以上知识点构成了第5章课后习题的核心内容，涵盖了矩阵运算、向量空间、特征值与特征向量的基础概念，以及它们在实际问题中的应用。理解和掌握这些内容对于深入理解线性代数至关重要。