图论基础：路径与数据结构图解

"本讲稿主要讲解了图数据结构中的路径相关概念，包括路径的定义、路径长度、简单路径和回路。同时介绍了图的基本构成元素，如顶点、边/弧、无向图和有向图，并进一步讨论了树、完全图、稠密图、稀疏图以及带权图等概念。此外，还提到了子图、邻接关系、顶点的度等图论中的关键术语。" 在图数据结构中，路径(Path)是一个非常重要的概念，它表示从一个顶点（vp）到另一个顶点（vq）的顶点序列。路径可以通过顶点的上标来标识其顺序，例如(1, 3, 2, 4)代表一个从顶点1出发，经过3、2，最后到达4的路径。路径的长度通常指的是路径上边或弧的数量，或者在带权图中，是指所有边权重的总和。 简单路径是指路径上不包含重复顶点的路径，即每个顶点只经过一次。回路或环(Cycle)则是指路径的第一个和最后一个顶点相同，形成一个闭合的路径。例如，在路径(1, 2, 3, 1)中，1既是起点也是终点，形成了一个回路。 图(Graph)是由顶点集V和边集E（或弧集）组成的二元组，记作G=(V,E)。无向图的边没有方向，而有向图的边则有明确的方向。无向图中，边可以用无序对(v,w)表示，而有向图则使用弧<v,w>。顶点是图中的数据元素，弧的尾部是弧开始的顶点，头部是弧结束的顶点。 图的类型多样，包括无向图、有向图、完全图、稠密图和稀疏图。无向完全图中任意两个顶点间都有一条边连接，边的数量为n(n-1)/2。有向完全图则包含n(n-1)条弧。稠密图是指边数相对于顶点数量较多的图，而稀疏图则是边数相对较少的情况。 带权图（Network）是给边赋予数值（权重）的图，通常用来表示距离、成本或其他相关量。权可以是任何实数，它增加了图的复杂性和应用范围。 子图（Subgraph）是指图G的一个部分，由G的某些顶点和它们之间的边构成，满足V1⊆V且E1⊆E。如果两个顶点通过边连接，我们说它们是邻接的。顶点的度(Degree)是指在无向图中与该顶点相连的边的数量，而在有向图中，度分为入度（指向该顶点的边数）和出度（从该顶点出发的边数）。 这些基本概念构成了图论的基础，对于理解和解决各种复杂问题，如网络分析、最短路径寻找、算法设计等，都有着至关重要的作用。