LDA最佳投影与样本选择：Fisher准则下的类别间距最大化

资源摘要信息:"线性判别分析（LDA）是一种常用的特征提取方法，其核心思想是寻找一种最佳的投影方向，使得在这个方向上，同类样本的投影点尽可能紧凑，而不同类样本的投影点尽可能分开。在数学上，这通常是通过最大化类间离散度矩阵和最小化类内离散度矩阵的比值来实现的。Fisher 准则函数正是基于这一思想构建的，其目标是在投影后获得最大的类间离散度和最小的类内离散度。" 在深入探讨LDA和Fisher准则之前，我们首先要明确几个概念： 1. **类间离散度（Between-class Scatter）**：表示不同类样本在特征空间中的分布情况，类间离散度越大，表明不同类样本之间的差别越大，分类效果越好。 2. **类内离散度（Within-class Scatter）**：表示同一类样本在特征空间中的聚集程度，类内离散度越小，说明同一类样本越紧凑，分类效果同样越好。 Fisher 准则函数可以形式化为： \[ J(w) = \frac{w^T S_B w}{w^T S_W w} \] 其中，\( w \)是投影方向，\( S_B \)是类间离散度矩阵，\( S_W \)是类内离散度矩阵。最大化\( J(w) \)就是在寻找一个使得\( w^T S_B w \)尽可能大，同时\( w^T S_W w \)尽可能小的向量\( w \)。 在实际应用中，LDA可以分为以下几个步骤： 1. **计算类内离散度矩阵**：对每个类分别计算其样本的均值向量，然后求出所有类均值向量的加权和，权重为各类样本数占总样本数的比例。 2. **计算类间离散度矩阵**：计算所有样本的全局均值向量，然后对于每个类，计算类均值向量与全局均值向量之间的差异，最后将所有类的差异累加起来。 3. **求解最优投影方向**：通过求解广义特征值问题（\( S_B w = \lambda S_W w \)）来找到使Fisher准则函数最大的\( w \)，这个\( w \)就是所求的最佳投影方向。 4. **特征变换**：根据求得的投影方向\( w \)，将原始数据\( x \)映射到新的特征空间\( y = w^T x \)。 5. **样本选择（如果需要）**：如果样本数量庞大，可以通过某种策略选择代表性的样本进行投影，以减少计算量。这在大样本情况下尤其有用。 LDA的应用非常广泛，包括但不限于生物信息学、图像识别、文本分类等领域，它不仅可以用于特征提取，还可以用于降维。例如，在人脸识别中，LDA可以用来将人脸的高维图像数据投影到一个低维空间，同时保持最大的类间差异，以便更有效地进行分类。 在MATLAB中，我们可以使用内置函数或者编写脚本来实现LDA，上述的压缩包子文件中的`test_lda.m`可能就是一个用于演示或者实际应用LDA算法的脚本。此脚本可能包含了数据加载、预处理、LDA算法实现以及结果验证等部分，使用者可以通过运行此脚本来检验算法的效果或进行进一步的分析。