边界层函数法下的非线性三阶微分方程奇摄动边值问题解析

本文主要探讨了一类非线性三阶微分方程的奇摄动边值问题，这是物理学和工程领域中的一个重要课题，尤其是在流体力学中，奇摄动理论被广泛应用于分析边界层效应下的复杂动态系统。作者陈丽华为福建师范大学福清分校数学与计算机科学系的研究者，她采用边界层函数法这一强大的工具来解决此类问题。 奇摄动是一种数学技术，用于处理在物理过程中参数强烈依赖的微分方程，其中一个小参数的存在导致了标准分析方法失效。在这种情况下，通过引入边界层概念，可以将原问题转换为一个在边界附近有显著变化的区域进行分析，从而得到更精确的近似解。 论文的核心内容是证明了所研究的非线性三阶微分方程的奇摄动边值问题存在且唯一解。这是对奇摄动理论的关键贡献，因为它确保了在实际问题中有明确的解的存在性和唯一性，这对于理解和控制这类系统的稳定性至关重要。 作者进一步提供了解及其导数的统一有效渐近展开，这意味着他们不仅找到了近似解，而且给出了这些解随着参数变化的精确渐近行为，这对于预测和控制奇摄动系统的长期行为极其有用。这种渐近展开是通过边界层函数方法得出的，这种方法在处理这类问题时，能捕捉到边界层内的关键特征，从而得到精确的解决方案。 关键词“奇摄动”、“边界层函数法”和“不变流形”表明了论文的核心技术和方法论，它们是解决这类非线性微分方程问题的关键工具。不变流形（invariant manifold）的概念在奇摄动分析中尤为重要，它代表了系统在参数变化下的不变结构，有助于理解解的行为模式。 这篇文章深入研究了一类非线性三阶微分方程在奇摄动条件下的边界值问题，不仅证明了解的存在性和唯一性，还提供了关于解的渐近行为的详细分析。这对于理论研究和实际应用中的边界层问题具有重要的理论价值和实践指导意义。