动态规划子序列优化：滚动数组实现空间压缩

"本文主要介绍了动态规划中的子序列问题，特别是最长公共子序列（LCS）的求解方法，包括动态规划的思路、空间优化策略以及相关编程实践。" 动态规划是一种解决复杂问题的有效方法，它通过将大问题分解为小问题的最优解来构建全局最优解。在处理子序列问题时，动态规划尤为适用。这里我们将重点讨论最长公共子序列（LCS）的计算。 最长公共子序列是指两个字符串中没有重新排序的最长子串，它们在原字符串中可能是不连续的。LCS问题具有最优子结构和重叠子问题的特点，适合采用动态规划求解。 首先，我们定义一个二维数组`c[i][j]`，表示字符串x的前i个字符和字符串y的前j个字符的LCS长度。递推公式如下： - 如果x[i] == y[j]，则`c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1` - 否则，`c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])` 这个公式表示，如果当前字符匹配，则LCS长度增加1；如果不匹配，则取不包含当前字符的LCS中的较长者。 在实现动态规划时，通常会遇到空间复杂度的问题。对于LCS，初始的空间复杂度是O(mn)，其中m和n分别是两个字符串的长度。但通过滚动数组的技巧，我们可以将空间优化到O(min{m,n})。这是因为计算`c[i][j]`时，仅需要`c[i-1][j]`和`c[i][j-1]`的信息，所以可以只保留两行状态，不断滚动更新。 进一步地，甚至可以只保留一行，用一个额外的变量x保存上一行的某列值。具体来说，当计算`c[j]`时，先保存`c[j-1]`的值到x，然后更新`c[j]`，这样空间复杂度降为O(1)。代码如下： ```cpp if (i == j) { d[j] = x; } else { x = d[j]; d[j] = max(d[j-1], d[j]); } ``` 动态规划的初始化也很关键，需要正确设定边界条件，例如对于LCS问题，`c[0][j]`和`c[i][0]`应初始化为0，因为空字符串的LCS长度为0。 在实际编程中，我们需要注意对数组的大小进行合理设置，并正确处理输入和输出。例如，题目中给出的PKU1936题目就是一个典型的LCS问题，可以通过动态规划和空间优化的方法快速求解。 动态规划是解决子序列问题的强大工具，通过理解最优子结构和重叠子问题，结合空间优化策略，可以高效地解决这类问题。在实际应用中，还需要注意初始化、边界条件以及编程细节，以确保算法的正确性和效率。