标量卡尔曼滤波器详解：从理论到实践

"标量卡尔曼滤波器" 卡尔曼滤波器是一种用于处理线性动态系统中随机变量的滤波算法，尤其适用于在存在噪声的情况下估计系统状态。在标量卡尔曼滤波器中，系统状态是一个单一的数值，而不是一个向量。这种滤波器的基本思想是结合系统模型和测量数据，通过最小化噪声影响来提供最佳状态估计。 首先，我们要定义问题。给定一个离散时间线性系统，其状态变量是一个标量x，遵循以下更新规则（方程1）： \[ x_j = ax_{j-1} + bx_j + w_j \] 这里，a和b是系统参数，w_j是零均值的白噪声，具有协方差Q。方程1描述了状态变量如何随时间演变，包括一个延迟项（T的块）和输入项bj。 接着，我们引入测量模型（方程3），其中z是通过一个增益h对x的测量，并受到噪声v的影响： \[ z_j = hx_j + v_j \] v_j同样是零均值的白噪声，具有协方差R，且与w_j独立。 卡尔曼滤波器的目标是在考虑到噪声w_j和v_j的情况下，提供对x_j的最佳估计。初始的简单估计（无用的估计）是直接复制系统架构，但这种方法没有考虑系统不确定性或噪声。 为了改进，我们引入了先验估计\( \hat{x}_{j|j-1} \)，它是基于上一时刻的估计和系统模型预测的当前时刻状态。残差（Residual）r_j定义为实际测量z_j与预测测量\( \hat{z}_{j|j-1} \)之间的差异： \[ r_j = z_j - \hat{z}_{j|j-1} \] 卡尔曼滤波的关键在于卡尔曼滤波增益K_j，它决定了如何结合先验估计和残差来更新后验估计\( \hat{x}_{j|j} \)： \[ \hat{x}_{j|j} = \hat{x}_{j|j-1} + K_jr_j \] 滤波增益K_j由先验协方差P_{j|j-1}和后验协方差P_{j|j}计算得出，它们分别表示对状态不确定性以及更新后的状态不确定性： \[ P_{j|j-1} = a^2P_{j-1|j-1} + Q \] \[ P_{j|j} = (I - K_jH)P_{j|j-1}(I - K_jH)^T + K_jRK_j^T \] 其中，H是测量矩阵（在这种情况下，由于x是标量，H=1），I是单位矩阵，K_jR_jK_j^T反映了通过测量更新后剩余的不确定性。 通过迭代这个过程，卡尔曼滤波器能够不断调整状态估计，以适应新的测量数据，同时最小化噪声的影响。在实际应用中，标量卡尔曼滤波器常用于简单系统或作为复杂滤波器的简化模型，例如在传感器融合、导航系统、控制系统等领域。