自适应三点高斯-勒让德积分法：优于辛普森算法的新型求积策略

本文主要探讨的是自适应高斯勒让德求积分算法在数值计算中的应用与优化。高斯勒让德积分法，源自勒让德正交多项式理论，是一种在节点数量固定时具有较高代数精度的积分方法。通常，辛普森法则因其在积分区间细化过程中函数值的重用性而被广泛采用，但高斯勒让德方法在重复使用已有节点的函数值方面相对较弱。 文章构建了一种自适应三点高斯勒让德积分算法，旨在克服这一局限。通过与已有的自适应辛普森积分法进行数值比较，研究者发现，尽管高斯勒让德方法在单次节点使用上可能不如辛普森算法经济，但在自适应情况下，自适应三点高斯勒让德法在保持相同精度的前提下，其计算成本显著低于辛普森算法，显示出更高的计算效率。这种算法的优势在于，它能够根据实际问题的复杂度动态调整节点选择，从而达到更佳的性能。 勒让德正交多项式作为理论基础，其性质保证了这些正交多项式的单实根分布，这对于积分计算提供了数学支持。文章详细介绍了正交多项式的定义、带权正交函数族的概念以及在特定区间上的正交多项式。这些预备知识为自适应积分算法的设计和分析提供了坚实的数学支撑。 文章的结构包括预备知识的阐述，然后是自适应三点高斯勒让德求积算法的具体实现步骤，包括选择积分节点、构造拉格朗日插值基函数等关键环节。最后，通过实验结果对比，证明了新算法在实际应用中的优越性，为数值积分领域提供了一个新的高效求解策略，特别是对于那些需要精确计算且不希望过度消耗计算资源的问题。 这篇论文不仅深入研究了高斯勒让德积分法，还将其与辛普森算法进行了有效的比较，对提高数值积分的计算效率和适用性做出了实质性的贡献，对于数值分析、数值计算软件开发以及工程计算等领域具有重要意义。