堆垒数论难题：E2(N)的改进估计

本文主要探讨了一类堆垒数论问题，特别关注的是自然数n不能表示为特定形式的和的情况，即不满足X^2 + Y^3 + Z^m = n，其中m可以是3, 4或5。这个问题在数论中具有重要地位，尤其当涉及到多个立方和时，如三个平方和的Legendre定理。论文的焦点在于对函数E2(N)，它计数了不超过N但不能表示为X^2 + Y^3 + Z^4 = n的自然数n的数量。 1937年，H. Davenport和H. Heilbronn给出了E1(N)（涉及立方和的函数）的估计，表明其数量级为O(N!(logN)^A)，其中A是一个正常数。随后，K.F.Roth在1949年进一步证明了E2(N)的估计为O(N!(logN)^B)，其中B也是正常数。然而，这个结果并不满足作者们对于方程(X1 + X2 + ... + Xs = n)解的充分大n情况下更为精确的期望。 最近，R.C.Vaughan证明了E3(N)有更精细的界限，即E3(N) = O(N^(1-δ))，其中δ是一个正数。虽然已有了一些成果，但对E2(N)的改进估计仍然具有研究价值，因为已知对于n大于250000时，方程2^1x_j ≡ n (mod pk)都有解。 本文的核心贡献在于提供了定理，当δ取为10^-6时，给出了E2(N)的一个新估计，即E2(N) > CN^(1/2 - δ)，这里C是一个正常数。作者还引入了新的概念，如Ph=(tN)^(1/3)，以及R(n)来表示满足特定条件的解组数，利用这种方法，作者进行了更细致的估计和分析。 为了达到这些结论，作者使用了圆法和余区间上的估计技术，通过定义Sk(q,a)的求和表达式，将问题分解并处理。公式(7)至(10)展示了这些估计方法的具体应用，其中包括了Sk(q,a)的定义和Sk与n的关系。 这篇论文深入研究了一类堆垒数论中的经典问题，通过新的估计方法，推动了对自然数表示形式的深入理解，尤其是对于不能表示为X^2 + Y^3 + Z^4 的情况。