堆垒数论难题:E2(N)的改进估计
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更新于2024-08-12
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本文主要探讨了一类堆垒数论问题,特别关注的是自然数n不能表示为特定形式的和的情况,即不满足X^2 + Y^3 + Z^m = n,其中m可以是3, 4或5。这个问题在数论中具有重要地位,尤其当涉及到多个立方和时,如三个平方和的Legendre定理。论文的焦点在于对函数E2(N),它计数了不超过N但不能表示为X^2 + Y^3 + Z^4 = n的自然数n的数量。
1937年,H. Davenport和H. Heilbronn给出了E1(N)(涉及立方和的函数)的估计,表明其数量级为O(N!(logN)^A),其中A是一个正常数。随后,K.F.Roth在1949年进一步证明了E2(N)的估计为O(N!(logN)^B),其中B也是正常数。然而,这个结果并不满足作者们对于方程(X1 + X2 + ... + Xs = n)解的充分大n情况下更为精确的期望。
最近,R.C.Vaughan证明了E3(N)有更精细的界限,即E3(N) = O(N^(1-δ)),其中δ是一个正数。虽然已有了一些成果,但对E2(N)的改进估计仍然具有研究价值,因为已知对于n大于250000时,方程2^1x_j ≡ n (mod pk)都有解。
本文的核心贡献在于提供了定理,当δ取为10^-6时,给出了E2(N)的一个新估计,即E2(N) > CN^(1/2 - δ),这里C是一个正常数。作者还引入了新的概念,如Ph=(tN)^(1/3),以及R(n)来表示满足特定条件的解组数,利用这种方法,作者进行了更细致的估计和分析。
为了达到这些结论,作者使用了圆法和余区间上的估计技术,通过定义Sk(q,a)的求和表达式,将问题分解并处理。公式(7)至(10)展示了这些估计方法的具体应用,其中包括了Sk(q,a)的定义和Sk与n的关系。
这篇论文深入研究了一类堆垒数论中的经典问题,通过新的估计方法,推动了对自然数表示形式的深入理解,尤其是对于不能表示为X^2 + Y^3 + Z^4 的情况。
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