泛函分析基础：距离空间与欧氏空间

"距离空间的基本概念-开源soa 中文完整版" 本文主要介绍了距离空间的基本概念，这是泛函分析中的重要基础。距离空间是数学分析中的一个重要概念，它拓展了实数域上绝对值的概念，形成了一种适用于无限维空间的度量结构。 1.1 距离空间的定义及例 距离空间是一个非空集合X，其上的每一对元素x和y都关联着一个非负实数d(x, y)，这个数值被称为距离，并需满足以下三个基本性质： - 非负性：d(x, y) ≥ 0，当且仅当x = y时，d(x, y) = 0。 - 对称性：d(x, y) = d(y, x)。 - 三角不等式：d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)。这个性质来源于平面几何中的三角形不等式，即两边之和大于第三边。 这些性质确保了距离空间的度量是合理的。定义了距离的集合X称为距离空间，通常表示为(X, d)。例如，n维欧氏空间R^n就是一个距离空间，其中两个向量x和y之间的距离d(x, y)定义为欧几里得距离，即所有坐标差的平方和的平方根。 1.2 开集、闭集及连续映射 在距离空间中，开集是由所有与任意点有一定距离的点构成的集合，而闭集则包含了所有极限点。一个映射在距离空间之间是连续的，如果对于任意开集U，映射的像也是开集的话，这个映射就是连续的。 1.3 稠密与可分 一个集合在距离空间中是稠密的，如果其补集的任何点都不能与该集合中的点保持固定的正距离。可分的集合是指可以找到一个可数的子集，该子集与原集合的任何点的距离都可以无限接近。 1.4 完备性 完备性是距离空间的一个重要属性，意味着所有的Cauchy序列都能在这个空间中收敛到一个点。完备的空间是许多重要结果的基础，比如Banach压缩映射原理。 1.5 列紧与紧 列紧集是每个序列都有收敛子序列的集合，而在度量空间中，紧集的定义通常与完备性相关，即紧集是完备且闭的集合。 2. 赋范线性空间与Banach空间 赋范线性空间是带有范数的线性空间，Banach空间是完备的赋范线性空间，具有丰富的几何和分析性质。 3. 内积空间与Hilbert空间 内积空间是每个元素之间都有内积的赋范线性空间，而Hilbert空间是完备的内积空间，它引入了正交、正交分解和标准正交基的概念。 4. 有界线性算子 有界线性算子是定义在赋范线性空间之间并保持范数有界的映射，其理论包括开映射定理、闭图像定理和一致有界原理。 5. 共轭空间和共轭算子 共轭空间是原始空间的对偶空间，共轭算子是作用于共轭空间的算子，相关的理论如Hahn-Banach延拓定理、弱收敛和弱*收敛。 6. 线性算子的谱理论 谱理论研究线性算子的性质，特别是与它们的特征值和谱相关的性质，对于理解线性算子的行为至关重要。 泛函分析是20世纪数学的重要分支，起源于变分法、微分方程等领域，广泛应用于现代数学的各个分支，包括微分方程、概率论、量子物理等。