线型动态规划解析：从最长公共子串到关键路径

"这篇资源是关于算法专项练习中的线型动态规划问题的分析，通过具体的样例展示了如何找出两个字符串的最长公共子串，并延伸到动态规划的基本原理和应用。" 在动态规划这一算法领域中，线型动态规划是一种特别有效的方法，常用于解决最优化问题。在给出的标题和描述中，我们首先看到一个例子，涉及到寻找两个字符串S1和S2的最长公共子串。最长公共子串是指两个字符串中相同的部分，且长度最长。在这个例子中，S1="ABCBDAB"，S2="BABCBD"，它们的最长公共子串包括"ABCB"，"ABCD"和"BCBD"，长度都是4。 通过样例分析，我们可以得出解决这类问题的思路：对两个字符串S1和S2，分别从头到尾枚举每个字符，比较它们的子串并找到最长的公共部分。这是一个典型的动态规划问题，因为它可以分解为更小的子问题，并利用之前计算的结果来避免重复计算。 在动态规划中，常常使用状态转移方程来描述问题的解决方案。例如，在"带权有向的多段图问题"中，寻找从点A到点D的最短路径。设F(i)表示从点A到点i的最短距离，我们可以根据前一阶段的最短距离计算当前阶段的最短距离。这是一种典型的多阶段最优化决策问题，每个阶段的决策只依赖于上一阶段的状态，形成一个决策序列，最终导向目标状态。 动态规划的基本原理包括最优性原理和无后效性原则。最优性原理指出，对于整个过程的最优策略，其后续的子策略也是最优的。无后效性原则意味着一旦当前状态确定，后续过程的发展不会受之前状态的影响。 在实际问题的应用中，例如"关键子工程"问题，我们需要在考虑子工程依赖关系的前提下，找出所有子工程完成的最短时间和关键子工程。这可以通过构建有向图来表示子工程间的依赖关系，然后使用拓扑排序和动态规划方法找到关键路径，即决定工程总完成时间的那些子工程。 总结来说，线型动态规划是一种强大的工具，用于解决涉及最优化的问题，如寻找最长公共子串、最短路径和关键路径等。它通过枚举和状态转移，结合最优性和无后效性原则，能够有效地找到全局最优解，而不仅仅是局部最优解。在实际编程和算法设计中，掌握动态规划的技巧和思想对于解决复杂问题至关重要。