数值分析习题解析与牛顿插值

"数值分析复习题.pdf" 数值分析是一门重要的数学学科，主要研究如何用数值方法解决数学问题，特别是微积分、线性代数、常微分方程等领域的复杂数学问题。这份复习题涵盖了数值分析的一些核心概念和技术。 一、计算选择题考察了舍入误差和计算效率的问题。在给定的四个公式中，解3 (3 * (3^2 - 2^2)) 的结果最好，因为2与4会出现相近数相减，这可能导致较大的相对误差，而公式1的运算次数比公式3多，会增加舍入误差。理解运算顺序和舍入误差的影响是数值计算中的基本技能。 二、四次牛顿插值多项式是数值插值的一种方法，用于通过给定的节点值来构造一个多项式，使得该多项式在这些节点上精确匹配函数值。题中给出了函数在节点上的值及导数值，要求构建四次牛顿插值多项式并给出型余项表达式。构建插值多项式通常涉及差商表的计算，而型余项表达式则反映了插值多项式与原函数之间的误差界限，它与高阶导数有关。 三、一次最佳一致逼近多项式是使多项式在指定区间内与目标函数的误差绝对值达到最小的多项式。本题要求找到函数 f(x) = x^2 在区间 [1, 9] 上的一次最佳一致逼近多项式 P_1(x)，并计算 L^∞ 范数下的误差，即 |f(x) - P_1(x)| 的最大值。这通常涉及到泰勒展开和最佳逼近理论，通过构造拉格朗日基多项式来寻找逼近多项式，并分析误差。 四、龙贝格求积算法是一种高精度的数值积分方法，适用于求解定积分。题目给出了一些特定点上的函数值，要求使用龙贝格算法计算积分 ∫_0^4 f(x) dx 的近似值。龙贝格算法通过组合不同长度的梯形和辛普森规则来提高精度，逐步递增积分区间，确保误差控制。 这份复习题覆盖了数值分析的主要知识点，包括舍入误差、插值多项式、最佳一致逼近以及数值积分等。理解和掌握这些内容对于理解和应用数值分析方法至关重要。在实际计算中，必须考虑计算精度、误差控制和算法效率，以得到尽可能准确且实用的数值解。