实分析：测度与积分理论 - 第3版

"Real Analysis - Theory of Measure and Integration, 3rd Edition, by J. Yeh" 本书《实分析：测度与积分理论》是实分析领域的一部经典著作，作者J. Yeh来自美国加利福尼亚大学欧文分校。第三版的发布表明了其在学术界的重要地位和持续更新的价值。实分析是数学的一个核心分支，主要研究实数、函数以及连续性的概念，它在现代数学、物理学和工程学中有广泛的应用。 测度论是实分析中的关键组成部分，它扩展了传统的长度、面积和体积的概念，使其能够适用于更复杂的集合，特别是那些无处不同的集合。在测度论中，我们学习如何定义和操作测度，这是一类赋亂数值的函数，可以量化集合的大小。Lebesgue测度是其中最著名的一个例子，它为欧几里得空间中的大部分集合提供了自然的“大小”。 积分理论是建立在测度论基础上的，包括Lebesgue积分，它是黎曼积分的推广。Lebesgue积分能够处理黎曼积分无法处理的函数，如不连续和无穷多次的函数。通过将函数分解成简单部分并分别积分，Lebesgue积分提供了一种更为强大和一致的方法来计算面积或工作量等概念。 书中可能涵盖了以下主题： 1. **基本概念**：集合论基础，可数性和不可数性，实数系统的完备性。 2. **σ-代数与测度**：σ-代数的定义，可测集，外测度与内测度，Borel σ-代数，Lebesgue测度的构造。 3. **可积性**：简单函数，可测函数，可积函数，Fatou引理，Lebesgue控制收敛定理，Lebesgue积分的基本性质。 4. **积分的性质**：积分的线性性，积分的单调性，积分的保号性，积分与乘法运算的关系，积分的比较原则。 5. **积分的应用**：Banach空间，L_p空间，Lebesgue微分定理，测度与拓扑的关系，测度空间上的泛函分析。 此外，书中的3rd Edition可能还包括最新的研究成果和教学方法，使得内容更加现代化，便于读者理解和应用。对于数学专业学生和研究人员来说，这本书是深入理解和应用实分析、测度论和积分理论的宝贵资源。