应用数学统计学:连续与离散分布概览
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更新于2024-07-20
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"Mathematical Statistics with Applications"
本资源主要涉及的是统计学中的连续分布和离散分布,以及与之相关的概率函数、矩生成函数、均值和方差等概念。以下是这些分布及其特性的详细解释:
1. **均匀分布**:
- 分布函数:在区间 [θ1, θ2] 内,概率密度函数 f(y) = (1 / (θ2 - θ1)),其中 θ1 和 θ2 是区间的边界。
- 均值:μ = (θ1 + θ2) / 2
- 方差:σ² = (θ2 - θ1)² / 12
2. **正态分布**(高斯分布):
- 分布函数:f(y) = (1 / (σ √2π)) * exp[-(y - µ)² / (2σ²)],其中 µ 是均值,σ 是标准差。
- 矩生成函数:M(t) = exp[µt + σ²t²/2]
- 均值:μ
- 方差:σ²
3. **指数分布**:
- 分布函数:f(y) = (1 / β) * e^(-y/β),β > 0 是率参数。
- 矩生成函数:M(t) = (1 - βt)^(-1)
- 均值:μ = β
- 方差:σ² = β²
4. **伽马分布**:
- 分布函数:f(y) = (1 / Γ(α) * β^α) * y^(α-1) * e^(-y/β),其中 α 是形状参数,β 是尺度参数。
- 矩生成函数:M(t) = (1 - βt)^(-α)
- 均值:μ = αβ
- 方差:σ² = αβ²
5. **卡方分布**:
- 分布函数:f(y) = (1 / 2^(v/2) * Γ(v/2)) * y^(v/2 - 1) * e^(-y/2),其中 v 是自由度。
- 矩生成函数:M(t) = (1 - 2t)^(-v/2)
- 均值:μ = v
- 方差:σ² = 2v
6. **贝塔分布**:
- 分布函数:f(y) = (Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β))) * y^(α-1) * (1 - y)^(β-1),其中 α 和 β 是形状参数,且 0 < y < 1。
- 贝塔分布的矩生成函数没有封闭形式表达。
- 均值:μ = α / (α + β)
- 方差:σ² = αβ / [(α + β)² * (α + β + 1)]
7. **离散分布**:
- **二项分布**:p(y) = (n choose y) * p^y * (1-p)^(n-y),其中 n 是试验次数,p 是单次成功概率。
- **几何分布**:p(y) = p * (1-p)^(y-1),y = 1, 2, ...,表示第一次成功的试验次数。
- **超几何分布**:p(y) 计算的是在不放回抽样中,y 个成功样本出现在 n 个样本中的概率。
- **泊松分布**:p(y) = λ^y * e^(-λ) / y!,λ 表示单位时间内的事件平均发生次数。
- **负二项分布**:p(y) 表示在 r 次成功之前发生了 y 次失败的概率,其中 r 是预设的成功次数。
这些概率分布在统计学中广泛应用于各种领域,如质量控制、生物学、社会科学等,用于描述随机变量的概率行为,并为数据分析提供理论基础。通过了解这些分布的性质,我们可以进行假设检验、参数估计、置信区间的计算,以及构建统计模型等。
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