应用数学统计学：连续与离散分布概览

"Mathematical Statistics with Applications" 本资源主要涉及的是统计学中的连续分布和离散分布，以及与之相关的概率函数、矩生成函数、均值和方差等概念。以下是这些分布及其特性的详细解释： 1. **均匀分布**： - 分布函数：在区间 [θ1, θ2] 内，概率密度函数 f(y) = (1 / (θ2 - θ1))，其中 θ1 和 θ2 是区间的边界。 - 均值：μ = (θ1 + θ2) / 2 - 方差：σ² = (θ2 - θ1)² / 12 2. **正态分布**（高斯分布）： - 分布函数：f(y) = (1 / (σ √2π)) * exp[-(y - µ)² / (2σ²)]，其中 µ 是均值，σ 是标准差。 - 矩生成函数：M(t) = exp[µt + σ²t²/2] - 均值：μ - 方差：σ² 3. **指数分布**： - 分布函数：f(y) = (1 / β) * e^(-y/β)，β > 0 是率参数。 - 矩生成函数：M(t) = (1 - βt)^(-1) - 均值：μ = β - 方差：σ² = β² 4. **伽马分布**： - 分布函数：f(y) = (1 / Γ(α) * β^α) * y^(α-1) * e^(-y/β)，其中 α 是形状参数，β 是尺度参数。 - 矩生成函数：M(t) = (1 - βt)^(-α) - 均值：μ = αβ - 方差：σ² = αβ² 5. **卡方分布**： - 分布函数：f(y) = (1 / 2^(v/2) * Γ(v/2)) * y^(v/2 - 1) * e^(-y/2)，其中 v 是自由度。 - 矩生成函数：M(t) = (1 - 2t)^(-v/2) - 均值：μ = v - 方差：σ² = 2v 6. **贝塔分布**： - 分布函数：f(y) = (Γ(α + β) / (Γ(α) * Γ(β))) * y^(α-1) * (1 - y)^(β-1)，其中 α 和 β 是形状参数，且 0 < y < 1。 - 贝塔分布的矩生成函数没有封闭形式表达。 - 均值：μ = α / (α + β) - 方差：σ² = αβ / [(α + β)² * (α + β + 1)] 7. **离散分布**： - **二项分布**：p(y) = (n choose y) * p^y * (1-p)^(n-y)，其中 n 是试验次数，p 是单次成功概率。 - **几何分布**：p(y) = p * (1-p)^(y-1)，y = 1, 2, ...，表示第一次成功的试验次数。 - **超几何分布**：p(y) 计算的是在不放回抽样中，y 个成功样本出现在 n 个样本中的概率。 - **泊松分布**：p(y) = λ^y * e^(-λ) / y!，λ 表示单位时间内的事件平均发生次数。 - **负二项分布**：p(y) 表示在 r 次成功之前发生了 y 次失败的概率，其中 r 是预设的成功次数。 这些概率分布在统计学中广泛应用于各种领域，如质量控制、生物学、社会科学等，用于描述随机变量的概率行为，并为数据分析提供理论基础。通过了解这些分布的性质，我们可以进行假设检验、参数估计、置信区间的计算，以及构建统计模型等。