任务分配问题：求解最优成本的上界与下界

"任务分配问题涉及寻找最小成本的分配策略，将n个任务分配给n个人，每个人执行每个任务的成本不同。目标是找到一个分配方案，使得总成本达到最小。在解决这类问题时，可以使用贪心算法找到一个近似解，通过计算对角线元素的和或每行最小元素的和来确定上界和下界。最优值必然位于这两者之间。此外，分支限界法是解决此类组合优化问题的有效方法，通过设置限界函数和搜索解空间树来寻找最优解。在搜索过程中，如果新生成的结点的目标函数值超出了已知的上界，该结点将被丢弃，否则将被加入待处理结点表中。" 在任务分配问题中，首先可以直观地考虑一些简单的分配策略来获得上界和下界。比如，对角线分配策略（即任务1给人员a，任务2给人员b，以此类推）提供了一个可行解，但不一定是最优的。贪心算法则可以快速给出一个近似解，通过选择每一轮剩余任务中与当前未分配人员匹配成本最低的任务进行分配。例如，将任务2分配给人员a、任务3分配给人员b等，可以得到一个成本为14的上界。 另一方面，为了找到下界，可以计算每个人执行所有任务的最小代价之和。这并不构成一个实际的解决方案，因为可能存在任务不能分配给同一个人的约束，但它为最优解提供了一个参考值。在这个例子中，人员a到d执行所有任务的最小代价分别是2、3、1和4，所以总成本的下界为10。 在利用分支限界法解决任务分配问题时，会构建一棵解空间树，其中每个结点代表一种部分分配状态。限界函数用于评估每个结点的潜在目标函数值，若超过已知的最优解（即下界），则该结点不会进一步扩展。搜索过程中，待处理结点表PT用于存储有待考察的结点，按照一定的策略（如最小优先）选择结点进行扩展。 以描述中提供的示例，初始根结点的目标函数值估计为10，然后逐步为每个人分配任务。如果分配导致目标函数值超出[10,14]的范围，如结点2、4和5的情况，那么这些结点会被丢弃。结点3（任务2分配给人员a）则进入待处理列表，因为它不违反下界。 求解任务分配问题涉及到对解空间的系统搜索，结合上界和下界的理论，以及有效的搜索策略，如分支限界法。这种问题在实际应用中广泛存在，例如项目管理、人力资源规划等，理解和掌握这类问题的求解方法对于优化资源配置至关重要。