图像处理中的数学问题：偏微分方程与变分法

"Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations" 是一本探讨图像处理中应用数学问题的书籍，主要关注偏微分方程（PDEs）和变分法。这本书的目标是展示图像分析的各种应用、涉及的精确数学以及如何对它们进行离散化。它面向两个主要群体：一是数学界，展示数学在该领域的贡献，并提出一些未解的理论问题；二是计算机视觉界，提供清晰、自包含且全面的图像处理问题中的数学概述。第二版更新了第一版的内容，涵盖了PDE框架下图像处理应用的最新进展，并提供了编程工具，使读者能够轻松实现和测试经典方法。 本书在图像处理中使用PDE和变分法，这是近十五年来发展起来的研究领域。PDEs在图像处理中的应用包括但不限于图像恢复、去噪、边缘检测和形状分析等。通过这些方程，可以描述图像的平滑、锐化等过程，而变分法则常用于寻找优化问题的解，例如最小化能量函数以达到某种图像处理目标。 书中详细介绍了如何将连续的数学模型离散化以适应计算机处理，这对于理解和实现算法至关重要。例如，通过有限差分或有限元方法将PDEs转化为数值解，使得在实际计算中可以处理像素级别的图像数据。 在计算机视觉社区中，这本书提供了一个全面的数学工具箱，帮助研究人员理解图像处理背后的数学原理。此外，提供的编程工具（可能包括代码示例和软件库）进一步降低了实际操作这些算法的门槛，使得研究者和学生能够快速上手并进行自己的模拟实验。 参考书目列举了一系列与偏微分方程、数值方法和控制理论相关的经典著作，这些书籍对于深入理解PDEs和变分法在图像处理中的应用非常有帮助。这些资源覆盖了从基本理论到高级技术，为读者提供了一个广泛的知识基础。 这本书不仅是一本深入的学术著作，也是实践中的实用指南，对于想要在图像处理领域结合数学方法进行研究的学者和工程师来说，是一份宝贵的参考资料。通过学习本书，读者不仅可以掌握理论知识，还能获得实践经验，提升解决实际图像处理问题的能力。