揭秘EM算法：解决高斯混合模型中的隐藏变量

EM算法，全称为Expectation-Maximization算法，是一种用于估计带有隐变量的模型参数的迭代优化方法，特别适用于高斯混合模型。它最初由Christopher M. Bishop在《Pattern Recognition and Machine Learning》中详细介绍。EM算法的核心思想是在不可见（隐藏）变量和观察变量之间进行迭代更新，以最大化似然函数。 预备知识包括概率论基础，如加法、乘法、条件概率、独立同分布(i.i.d.)、多维随机变量、高斯分布、贝叶斯定理以及最大似然估计。理解偏导数、向量和矩阵求导以及拉格朗日乘子也是进行EM算法计算所必需的。 问题的起始背景是处理一个混合高斯分布的情况，即给定观测数据x，这些数据可能由k个未知分布构成，但具体每个数据点属于哪个分布是未知的，这被称为隐藏变量。目标是寻找每个高斯分布的参数，如均值和协方差。 简化问题阶段，当观测数据同时附有隐藏变量z的信息时，求解参数相对简单，因为可以直接根据z的值对每个高斯分布进行参数估计。然而，实际问题中，我们仅能看到x，而z是隐藏的，这增加了问题的复杂性。 引入隐藏变量Z时，使用1-of-K编码法，通过向量表示每个高斯分布的概率，其中πi是第i个高斯分布的概率。这样，混合高斯分布可以表示为一个包含所有可能z状态的联合概率分布。 EM算法的工作流程是：首先在期望（E）步骤中，基于当前参数估计出隐藏变量的期望分布；然后在最大化（M）步骤中，利用这些期望分布更新模型参数，使得似然函数最大化。这个过程重复进行直到收敛，或者达到预设的迭代次数。 在整个过程中，由于观察值之间的独立性，每个xi被视为独立的随机变量，特别是当它们来自同一高斯分布时，这种独立性简化了计算。EM算法在众多领域，如机器学习、计算机视觉和信号处理中被广泛应用，尤其是在需要处理不确定性和缺失数据的情境中。