双曲空间中的核函数：提升机器学习性能与结构编码

本文探讨了在双曲空间中的核函数及其应用，针对传统的欧几里得空间在处理复杂几何信息时的局限性。双曲空间以其特有的负曲率和对分层数据的强大编码能力，已经在图像分类、单词嵌入等领域展现出显著的优势。然而，由于其弯曲几何的特性，如计算Frechet平均值需要迭代算法，使得在双曲空间中的分析相对复杂。 作者们提出了在双曲空间中引入正定核函数这一创新，这有两个关键优势。首先，引入核函数使得核方法可以直接应用于双曲嵌入的数据，扩展了核机器学习在非欧几里得环境下的应用范围。其次，通过将双曲空间映射到再生核希尔伯特空间（RKHS），核函数的理论特性得以保留，同时简化了在双曲数据上的各种操作，弥补了现有研究在这方面的空白。 文中开发了几种有效的正定核，包括通用的径向基函数（RBF），这些核能够在诸如少样本学习（Few-shot Learning）、零样本学习（Zero-shot Learning）、人脸识别（Person Re-identification）和知识蒸馏（Knowledge Distillation）等任务中展现双曲表示的优越性。相比于欧几里得空间，双曲几何能够更好地保留和表达复杂的数据结构，如图结构中的层次信息，这对于处理非线性和非平凡数据分布尤其重要。 总结来说，本文的主要贡献在于构建了一套适用于双曲空间的正定核函数，为在双曲嵌入中利用核机器学习提供了理论基础和实用工具，从而提高了在处理具有复杂几何信息的数据集时的分析效率和表示能力。这些成果对于推动机器学习在计算机视觉、自然语言处理等领域的应用具有重要意义。