数字信号处理作业解析：DFT与序列周期性

"该资源为数字信号处理课程的作业答案，包含了多个关于离散傅里叶变换（DFT）的问题及解答，涉及周期序列、序列的周期性、DFT系数的计算以及序列的性质等核心概念。" 数字信号处理是一门重要的工程技术学科，主要研究如何在数字域中对信号进行分析、变换和处理。这份作业答案详细探讨了几个关键知识点： 1. **序列的周期性**：题目指出，如果一个序列x(n)的周期是N，那么它也可以被视为周期为2N的序列。离散傅里叶级数（DFT）的系数X1(k)对应周期为N的序列，而X2(k)对应周期为2N的序列。通过X1(k)，我们可以推导出X2(k)。这涉及到傅里叶变换在处理周期序列时的特性。 2. **周期序列的线性组合**：两个周期为N和M的序列x(n)和y(n)的和w(n)仍然是周期的，周期为MN。离散傅里叶变换的线性性质表明，W(k)可以通过X(k)和Y(k)的线性组合得到，即W(k) = X(k) + Y(k)，同时考虑到它们各自的周期性。 3. **DFT计算**： - a. 单位脉冲序列δ(n)的DFT是N点的单位圆。 - b. 延迟的单位脉冲序列δ(n-n0)的DFT是N点单位圆的延迟版本，对应于原点处的零点移位。 - c. 均匀幅度序列an的DFT是一个复数狄利克雷级数，幅度为an，相位取决于n0。 4. **频率分辨率**：在频谱分析中，取样频率决定了离散傅里叶变换（DFT）的频率分辨率。对于10千赫的取样率和1024个点的DFT，频率间隔是总带宽除以DFT点数，即10 kHz / 1024 ≈ 9.77 Hz。 5. **序列的对称性质**： - a. 如果序列x(n)满足x(n) = -x(N-1-n)，则其DFT的直流分量X(0)等于0，这是由于序列的平均值为零。 - b. 当N为偶数时，如果x(n) = x(N-1-n)，则X(N/2) = 0，这是因为序列是对称的，导致中心频率的系数消失。 6. **DFT的逆变换**：计算X(k)的DFT得到x1(n)，这相当于对X(k)应用IDFT（逆离散傅里叶变换），可以使用x(n)来求解x1(n)，体现了DFT和IDFT的互逆性。 7. **DFT的平均性质**：这个公式表明，一个N点序列x(n)的均值可以由其DFT的平均得到，这是傅里叶变换在统计信号分析中的应用，揭示了时域平均和频域平均的等效性。 这些解答详细展示了数字信号处理的基本概念，包括周期序列、DFT、序列性质以及它们在实际问题中的应用，对于理解和掌握数字信号处理的基础知识非常有帮助。