完备距离空间中渐近正则映象对的公共不动点定理

本文主要探讨了距离空间中的公共不动点定理，特别是在完备距离空间的背景下。首先，作者引入了渐近正则映象对这一概念，这是对传统Banach不动点定理的扩展，它要求映射T和S不仅自身是渐近正则的，即映射的迭代极限趋于零，而且它们之间的组合也满足相似的渐近性质。一个渐近正则映象对被定义为对所有x在X中的极限值，映射T和S的组合极限相等。 定理1是本文的核心成果，它假设T和S是连续的渐近正则映象对，并满足以下两个条件：一是存在某个δ∈Φ1，使得对于任意x,y∈X，映像间的距离d(Tx, Sy)不大于δ倍的距离D(x,y)，这是一种局部控制映像行为的条件；二是当x≠y时，d(Tx,Sy)小于D(x,y)，这确保了映像间的非重叠性。根据这些条件，作者证明在完备距离空间中，这样的映象对必然有一个且仅有一个公共不动点，即存在一个点x，使得Tx=Sx。 这个定理对于不动点理论和映射论具有重要意义，因为它扩展了不动点定理的应用范围，允许映射对之间的交互作用影响不动点的存在性。作者的工作不仅提供了新的不动点定理的证明，也为后续研究提供了理论基础，尤其是在分析连续映射在完备空间中的行为和性质方面。 本文的研究还涉及到函数φ1的选择，这是一个关键的辅助函数集合，它定义了距离D(x,y)的方式，通过结合原始距离与映像的贡献。作者通过这种方式构造了一个新的不动点定理，强调了渐近正则映象对在不动点理论中的独特角色。 这篇论文在距离空间理论中做出了重要贡献，通过引入并研究渐近正则映象对，作者揭示了在完备距离空间中，这类映象对存在唯一公共不动点的特性，这对于深入理解映射行为及其不动点问题具有显著的意义。