EM算法详解：从Jensen不等式到参数估计

"这篇资源是关于EM算法的总结，作者通过参考网络资源深入浅出地讲解了EM算法，包括其在HMM、词对齐和贝叶斯网络中的应用，并详细介绍了Jensen不等式以及EM算法的推导过程。" EM算法全称为 Expectation-Maximization（期望-最大化）算法，是一种在数据中存在不可观测或隐含变量的情况下，用来估计参数的有效方法。它广泛应用于统计学和机器学习中，如混合高斯模型、隐马尔科夫模型（HMM）、马尔科夫随机场等。 1. Jensen不等式是EM算法的基础。对于凸函数f，Jensen不等式表明期望值总是位于函数图像之上，即期望值不小于函数值。在EM算法中，这一性质被用来构造目标函数的下界。如果f是凹函数，不等号方向则相反。这在优化过程中非常关键，因为它允许我们在每次迭代时提高目标函数的值。 2. EM算法的基本思想是交替进行两步：期望（E）步骤和最大化（M）步骤。E步骤中，我们根据当前的参数估计来计算每个样本属于每个类别的后验概率分布；M步骤中，我们固定这些概率分布，然后最大化关于可见数据的似然函数，更新参数以提高似然性。 具体来说，在E步骤中，我们定义Q函数，它是对数似然函数关于隐变量的期望值，通常可以写作Q(θ|θ^(t))，其中θ^(t)是当前的参数估计，θ是待优化的参数。Q函数提供了一个下界，即L(θ|θ^(t)) ≤ Q(θ|θ^(t))。在M步骤中，我们寻找使得Q函数最大的参数θ，从而提高下界，即θ^(t+1) = arg maxθ Q(θ|θ^(t))。 3. 在EM算法的应用中，例如在HMM中，EM算法被用来估计发射概率和转移概率。在词对齐任务中，EM算法可以帮助找到最佳的词对齐模式。在贝叶斯网络中，EM可以用来估计网络的结构和参数。 4. EM算法的优点在于其简单性和收敛性。尽管它不保证达到全局最优解，但在许多实际问题中，它能够找到满意的结果。然而，它也可能陷入局部最优，因此初始参数的选择很重要。 5. 除了理论推导，实际应用中还需要考虑算法的效率和稳定性，可能会采用各种改进策略，如早停规则、二阶导数信息等。 EM算法是一种强大的工具，它能够在处理含有隐变量的数据集时有效地估计模型参数。理解并掌握EM算法有助于解决涉及概率模型的复杂问题。