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算法基础:信息学竞赛入门关键
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本文档深入探讨了信息学竞赛中算法的基础概念和重要性。算法在程序设计中的核心地位被强调,它是编写程序解决问题的基础,没有好的算法,程序就缺乏效率和目的性。算法必须具备五个关键特征: 1. 有限性和确定性:算法必须有明确的结束条件,避免无限循环,每一步操作都有清晰的定义,确保在所有情况下都只有一个确定的执行路径。 2. 输入与输出:算法至少需要0个或多个输入来初始化问题,这些输入可以由用户或程序定义。输出则是对输入数据处理的结果,它应该与输入有明确的关系。 3. 可行性与精确性:算法的每一步运算必须是可执行的,并能在有限次运算后得到精确结果,即使在纸面上也能实现。 4. 时间复杂度分析:衡量算法效率的关键是时间复杂度,它反映了算法运行所需的时间与输入规模的关系。文中提到的基本操作次数不同,对应的时间复杂度依次为O(1)、O(n)、O(n^2)等,指数阶的时间复杂度(如O(2^n))被视为效率低下的。 5. 空间复杂度:尽管时间复杂度更受关注,但在硬件资源充足的现代,空间复杂度通常次于时间复杂度。但理解和控制空间使用仍然重要,特别是在内存受限的环境中。 这篇文档为准备信息学奥赛的学生提供了一个基础的算法理论框架,强调了算法设计的严谨性和优化的重要性,以及如何通过分析时间复杂度来评估和选择有效的算法策略。这对于提升编程技能和解决复杂问题的能力具有实际指导意义。
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作者:avex79 出自:信息学奥赛辅导教育博客
第三章 信息学奥赛中的基本算法(枚举法)
枚举法,常常称之为穷举法,是指从可能的集合中一一枚举各个元素,用题目给定的约
束条件判定哪些是无用的,哪些是有用的。能使命题成立者,即为问题的解。
采用枚举算法解题的基本思路:
(1) 确定枚举对象、枚举范围和判定条件;
(2) 一一枚举可能的解,验证是否是问题的解
下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定,这三个方面来
探讨如何用枚举法解题。
例 1:百钱买百鸡问题:有一个人有一百块钱,打算买一百只鸡。到市场一看,大鸡三
块钱一只,小鸡一块钱三只,不大不小的鸡两块钱一只。现在,请你编一程序,帮他计划一
下,怎么样买法,才能刚好用一百块钱买一百只鸡?
算法分析:此题很显然是用枚举法,我们以三种鸡的个数为枚举对象(分别设为 x,y,z),
以三种鸡的总数(x+y+z)和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z)为判定条件,穷举各种鸡的个
数。
var x,y,z:integer;
begin
if (x+y+z=100)and(x*3+y*2+z div 3=100)and(z mod 3=0)then writeln('x=',x,'y=',y,'
z=',z); {验证可能的解,并输出符合题目要求的解}
上面的条件还有优化的空间,三种鸡的和是固定的,我们只要枚举二种鸡(x,y),第三
种鸡就可以根据约束条件求得(z=100-x-y),这样就缩小了枚举范围,请看下面的程序:
var x,y,z:integer;
begin
begin
z:=100-x-y;
if (x*3+y*2+z div 3=100)and(z mod 3=0)then writeln('x=',x,'y=',y,'z=',z);
end;
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作者:avex79 出自:信息学奥赛辅导教育博客
end.
未经优化的程序循环了 101
3
次,时间复杂度为 O(n
3
);优化后的程序只循环了(102*1
01/2)次 ,时间复杂度为 O(n )。从上面的对比可以看出,对于枚举算法,加强约束条件,
2
缩小枚举的范围,是程序优化的主要考虑方向。
在枚举算法中,枚举对象的选择也是非常重要的,它直接影响着算法的时间复杂度,选
择适当的枚举对象可以获得更高的效率。如下例:
例 2、将 1,2...9 共 9 个数分成三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数构成 1:2:3 的
比例,试求出所有满足条件的三个三位数.
例如:三个三位数 192,384,576 满足以上条件.(NOIP1998pj)
算法分析:这是 1998 年全国分区联赛普及组试题(简称 NOIP1998pj,以下同)。此题
数据规模不大,可以进行枚举,如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象,一位一位地去
枚举:
这样下去,枚举次数就有 9 次,如果我们分别设三个数为 x,2x,3x,以 x 为枚举对象,
9
穷举的范围就减少为9 ,在细节上再进一步优化,枚举范围就更少了。程序如下:
3
var
begin
begin
t:=0;
for c:='1' to '9' do{枚举 9 个字符,判断是否都在 st 中}
if pos(c,st)<>0 then inc(t) else break;{如果不在 st 中,则退出循环}
if t=9 then writeln(x,' ',x*2,' ',x*3);
end;
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