理解线性回归：从栗子到梯度下降

"回归算法讲解--.pdf" 回归算法是一种预测模型，常用于预测连续数值型的目标变量。在本讲解中，我们将专注于线性回归，这是一种简单而常见的回归分析方法。线性回归试图通过一条直线或超平面来最好地拟合给定的数据点，这条直线或超平面代表了特征与目标变量之间的关系。 以一个例子来说明，假设我们有一组数据，包括每个人的工资（X1）和年龄（X2），以及银行根据这些信息给他们提供的贷款额度（Y）。线性回归的目标就是找到一个模型，能够预测出给定工资和年龄时，银行可能提供的贷款额度。 线性回归模型可以表示为： Y = θ0 + θ1 * X1 + θ2 * X2 其中，θ0 是偏置项，θ1 和 θ2 分别是工资和年龄的参数。模型的目标是找到最佳的 θ0, θ1 和 θ2，使得模型预测的结果与实际贷款额度尽可能接近。 误差（E）定义为预测值与真实值的差，即 E = Y - (θ0 + θ1 * X1 + θ2 * X2)。在理想情况下，误差应是独立且同分布的，服从均值为0、方差为 σ² 的高斯分布。 为了找到最佳参数，我们需要最大化似然函数。似然函数表示参数下观察到当前数据的概率。通常，我们会使用对数似然，因为它将乘积转换为加法，便于计算。通过求解使对数似然最大化的参数，我们可以找到最佳的 θ 参数。这种方法称为最小二乘法，目标是最小化所有样本的误差平方和。 求解过程通常涉及梯度下降算法。梯度下降是一种迭代优化方法，用于找到目标函数（这里是误差平方和）的局部最小值。在每一步迭代中，算法会沿着目标函数梯度的反方向移动一小步，逐步逼近全局或局部最小值，就像在山谷中寻找最低点。 评估线性回归模型的性能，最常用的一个指标是 R²（决定系数），其值介于0和1之间。R² 越接近1，表明模型拟合数据的越好。另一个常见的评估指标是残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS），它衡量的是模型预测值与真实值之间的差异。 总结来说，线性回归是一种基础但重要的预测技术，适用于处理连续数值预测问题。通过理解模型背后的数学原理，如误差定义、参数估计和优化方法，我们可以更好地应用和解释线性回归模型的预测结果。