动态规划解析：火车进站优化问题与关键路径算法

"火车进站-算法专项练习--线型动态规划" 这篇资源主要讨论的是一个涉及线性动态规划的算法问题，即如何解决火车进站的问题。问题设定为有N辆火车，每辆火车有特定的进站时间和离站时间，而车站最多能容纳M辆火车（M<=3）。目标是计算出最多能接纳多少辆火车。 线性动态规划是一种优化技术，用于解决多阶段决策问题，其中每个阶段的最优决策基于之前阶段的决策。在这个问题中，我们可以构建一个状态转移矩阵，表示在某个时刻车站可以接纳的火车数量。状态转移方程可以通过遍历所有可能的火车进站和离站组合来确定，以找到最大容量。 具体应用到火车进站问题，我们可以定义一个状态f[i]，表示在某个时间点i车站内最多可以停靠的火车数量。初始化时，f[0]为0，因为没有火车到达。然后，我们遍历每辆火车，如果火车站未满，且新的火车可以在当前时间点进站且不超出离站时间，我们就更新f[i]的值。这个过程可以迭代地进行，直到所有火车都被考虑过。 动态规划的两个核心原则在此问题中得以体现： 1. 最优性原理：在整体最优解中，任何子问题的解也必须是最优的。 2. 无后效性原则：一旦某个阶段的状态确定，后续阶段的决策不会改变之前阶段的结果。 此外，题目还提到了其他类型的问题，如带权有向多段图的最短路径问题和有向图的关键路径问题。在有向图的最短路径问题中，从点A到点D的最短路径可以通过动态规划求解，定义F(i)表示从点A到达点i的最短距离，然后递归地计算每个节点的最短距离，直到到达目标点D。 而有向图的关键路径问题，是项目管理中的经典问题，寻找决定整个工程完成时间的最短路径。关键路径是指那些对项目总时差没有贡献的任务序列，即如果这些任务延迟，整个项目的完成时间也将随之延长。这个问题同样可以通过动态规划解决，利用拓扑排序和动态规划方程计算每个子工程的最早完成时间，然后找出关键子工程。 总结来说，这个资源提供了线性动态规划在解决火车进站问题、最短路径问题以及关键路径问题中的应用，展示了动态规划如何在多阶段决策和优化问题中找到全局最优解。这些问题的解决方法都需要理解动态规划的核心思想，并能够灵活应用状态转移方程来逐步逼近最优解。