微分形式积分：欧氏空间曲面上的线性化与微分计算

微分形式的积分是数学分析中的一个重要主题，特别是在欧氏空间中的曲面理论中。章节十五探讨了如何在参数曲面Σ上对函数进行线性化的概念，这对于理解函数在特定点p上的行为至关重要。参数曲面Σ通过参数化表示，其在点u0（对应p）的线性化即为该点的切空间TpΣ，这是一个m维的线性空间，由向量Bui pu0q构成的基给出。函数f如果在u0处可微，其在p处的线性化dfp表现为一个线性函数，其值等于函数f沿曲面在点p处沿着所有可能的切向量的方向导数。 微分在这里不仅是一种局部操作，它涉及到函数在某一点的瞬时变化率，可以用切向量Xp来度量。dfppXpq的定义是通过沿着曲线σptq，其初始切向量为Xp，求出f值随时间的变化率。这个概念与线性代数中的对偶空间紧密相连，dfp被视为切空间TpΣ的对偶空间T˚pΣ中的元素，即余切向量，构成了余切丛T˚Σ。 当函数在整个曲面上可微时，df形成了全微分映射df: Σ → T˚Σ，这是微积分中一个关键的概念，用于描述函数的整体变化趋势。19世纪，随着极限理论的严格化，如柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯的工作，微积分的理论基础得以巩固，这使得微分和积分的关系更为清晰，例如通过斯托克斯积分公式将两者统一起来。 本书以微积分的发展历史为背景，介绍数学分析的内容，强调了现代数学方法在传统分析问题中的应用。例如，它在第一章就引入了集合和映射的基础概念，并着重于确界原理，这成为后续一元分析的基础。书中还提到，为了简化学习，实数的构造理论放在了第一章的附录中，而在第三章，作者就引入了连续函数的积分，从而更快地达到微积分的基本定理——牛顿-莱布尼兹公式。 在后续章节中，书本涵盖了微分中值定理和泰勒展开，这些都是微分学的巅峰成就，而一元函数积分是教学大纲的重要组成部分。这样的编排有助于读者更好地理解和掌握微分和积分的实质，以及它们在解决实际问题中的作用。