离散随机信号统计特性：均值与方差解析

"这篇资料是关于信号检测与估计课程中连续随机信号的统计平均量的习题总结，主要涵盖离散随机信号的统计特性描述，包括均值、方差等统计量的计算，并通过实例分析了均匀分布、对称三角分布以及单边和双边指数分布的离散随机信号的特性。" 在信号处理领域，统计平均量是理解和分析随机信号的重要工具。对于连续随机信号，其统计特性通常通过均值、方差等参数来描述。均值（期望）代表信号的中心趋势，是所有可能取值乘以其对应的概率然后求和的结果。用数学表达式表示为：\( E[x] = \int_{-\infty}^{\infty} x p(x) dx \)，其中\( p(x) \)是随机变量x的概率密度函数。方差则衡量信号的波动程度，它等于信号偏离其均值的平方的期望值，即 \( E[(x - E[x])^2] \)。 离散随机信号的统计特性同样重要。在给定的例子中，讨论了三种特定类型的离散随机信号：均匀分布、对称三角分布以及单边和双边指数分布。对于均匀分布，其概率密度函数是线性的，均值和方差可以通过分布的边界值计算得出。例如，一个在区间[a, b]上均匀分布的离散随机变量x，其均值\( E[x] = \frac{a + b}{2} \)，方差\( Var[x] = \frac{(b - a)^2}{12} \)。 对称三角分布的离散随机信号，其概率密度函数是对称的，均值为分布区间的中心点，方差可以通过分布的形状参数计算。单边和双边指数分布的离散随机信号，其概率密度函数呈指数衰减形式，均值和方差分别与分布参数有关。 习题中还给出了具体的计算示例，如对称三角分布信号的均值和方差的求解，以及高斯分布（正态分布）离散随机信号的均值和方差的利用。在例2.2.1中，求解对称三角分布信号的统计平均量，而例2.2.2则涉及了均值和方差已知的高斯分布信号，其概率密度函数可以直接应用高斯分布的公式来求解。 这些基础知识对于理解信号检测与估计中的随机过程理论至关重要，因为它们帮助我们量化信号的不确定性和噪声特性，从而进行有效的信号分析、滤波和决策。在实际应用中，例如通信系统中的信号检测、雷达信号处理或图像处理等领域，都需要用到这些统计概念。