重叠型区域分解算法在椭圆型问题中的应用与收敛性分析

"这篇论文是1994年发表在《清华大学学报（自然科学版）》第34卷第6期上，主题涉及椭圆型问题的多子域重叠型区域分解算法，作者是胡显承，属于自然科学领域的学术论文。文章探讨了一种用于解决二阶自共轭椭圆型问题的算法，证明了其在特定条件下具有几何收敛性，并分析了子域划分、收敛因子、预处理器和网格参数之间的相互影响。" 正文: 在解决二阶自共轭椭圆型问题时，一种常见的方法是利用有限元法，包括非协调元。该论文提出了一种重叠型区域分解算法，适用于处理边界为Dirichlet问题的二阶自共轭椭圆型方程。这类方程的弱形式是通过积分表达式的内积来定义，涉及到函数空间Hõ(.(l)及其对偶空间L²(.(l)。 论文的核心是算法1.1，也称为并行Schwarz交替法。它涉及到将原始区域分解为多个子域，并在这些子域上并行地求解边值问题。在每一步迭代中，子域的解会更新，最终通过合并所有子域的解来获得全局解。Lions的工作表明，如果子空间V可以被表示为子域的直和，那么算法将收敛；如果子空间V是子域的交集，算法则会几何收敛。然而，原文指出，未经优化的算法1.1在实际应用中并不理想。 Dryja和Widlund的研究扩展了这一领域，他们关注的是分片线性协调元的离散情况。这些研究为理解算法在不同离散格式下的行为提供了重要洞察，特别是如何通过调整子域划分、预处理步骤和网格参数来改善算法性能。 论文还深入讨论了子域划分策略，收敛因子的确定，以及预处理器的作用。预处理器可以加速收敛速度，而子域划分和网格参数的选择直接影响算法的效率和精度。通过精心设计这些因素，可以优化算法的性能，使其在解决大型复杂问题时更有效。 这篇论文不仅提供了一个理论框架，证明了重叠型区域分解算法的收敛性，还为实际应用中的算法优化提供了理论依据。对于从事有限元法和并行计算的科研人员来说，这些内容具有很高的参考价值。