多元线性回归分析详解

"这份文档是关于心理统计学基础讲义的第十章，主题为多元统计分析初步，主要涵盖了多元线性回归分析的概念、优缺点、统计前提、模型形式、计算方法、方程检验、解释能力和自变量选择策略，以及多重共线性问题的讨论。" 在多元线性回归分析中，我们研究的是两个或更多自变量如何影响一个因变量的情况。这种分析方法更符合现实世界的复杂性，能够提高对因变量预测的准确性。然而，它也带来了计算上的复杂性，并可能出现多重共线性问题，即自变量之间高度相关。 统计分析的前提条件包括线性关系、正态性、独立性以及误差的等分散性。在多元情况下，还需考虑样本容量、自变量的选择和多重共线性。多元线性回归的一般形式为 Y = b1X1 + b2X2 + ... + bkXk + a，其中bk代表偏回归系数，a是常数项。标准化形式则为 ZY = β1ZX1 + β2ZX2 + ... + βkZXk，βk是标准回归系数，其值范围在-1到1之间。 进行多元线性回归分析时，通常使用矩阵运算，借助如Excel、SPSS或SAS等专业软件进行计算。方程的整体显著性通过F检验来确定，涉及总和方SST、线性回归部分的和方SSR、残差的和方SSE以及相应的自由度dfR和dfE。测定系数R2衡量了回归部分占总和方的比例，而调整后的测定系数Radj2考虑了自变量的数量，更适用于比较不同模型。 对偏回归系数的显著性检验采用t检验，但需要注意的是，即使某些偏回归系数不显著，整个回归方程仍可能显著。自变量的选择是关键，最优回归方程要求整个方程和所有偏回归系数都显著。常见的自变量选择方法有同时分析法、逐步分析法（顺向进入法、反向淘汰法和逐步回归法）以及阶层分析法。 多重共线性是多元回归中的一大挑战，它可能导致偏回归系数不显著，标准误增大，增加I类错误的风险，并使结果可靠性下降。检测多重共线性的指标包括容限度（1 - Ri2）和方差膨胀因素（VIF），当VIF大于某个阈值时，表示可能存在多重共线性问题。 多元统计分析是理解和解释多因素影响现象的重要工具，但同时也需要警惕并处理好相关统计前提和潜在问题，以确保分析结果的有效性和可靠性。