集值紧摄动的拓扑度理论——Fredholm映射的应用

"Fredholm映射的集值紧摄动的拓扑度 (1991年)" 这篇论文探讨了在拓扑学和泛函分析领域中的一个重要概念——Fredholm映射的集值紧摄动的拓扑度。Fredholm映射是Banach空间之间的一种特殊类型映射，它具有有限的非零点个数，对于理解和解决非线性问题至关重要。该文主要关注的是零指标的Fredholm映射，即那些导致有限数量解的映射。 在描述中提到，X是一个定向的C' Banach-Fredholm流形，9是X的一个开子集，E是一个Banach空间，f是从开集9到E的适当连续映射，f:Q到E是一个适定的（非线性的）C' Fredholm映射，指数为零。此外，G是从9到E的上半连续的集合值映射。文章的目标是为这类映射的集值紧摄动建立拓扑度理论，以适应解决非光滑问题。 预备知识部分介绍了度量空间中的基本概念，如两子集之间的距离、集值映射的定义及其性质。特别地，定义了一个集值映射F是固有的，如果其值域对Banach空间E中的任何紧集都是紧的。这意味着固有映射保持了紧致性，这对于分析映射的行为至关重要。引理1.1和引理1.2分别涉及到具凸值的上半连续集值映射的逼近性和具闭值的上半连续集值映射图象的封闭性。这些结果为证明集值映射的性质提供了基础。 接着，论文定义了紧的集值映射，即其值域是E中的紧集，并展示了如何通过固有映射和紧映射的组合保持这种紧性。引理1.4证明了如果F是固有的，G是紧的，那么F-G仍保持固有性和紧性，这是讨论拓扑度的关键。 这篇文章深入研究了零指标Fredholm映射在受到集值紧摄动时的拓扑特性，为处理非线性偏微分方程和其他相关问题提供了理论工具。作者范先令通过引入和应用关键的数学工具，如固有映射、紧映射和拓扑度理论，为解决实际中的复杂数学问题提供了理论框架。