现代最优控制理论：从庞特里亚金到阿波罗11号

"最优控制理论，包括庞特里亚金最大值原理和贝尔曼的动态规划方法，用于解决复杂系统的设计问题。课程涵盖最优控制问题的一般概念、变分法、极小值原理及线性二次型最优控制。" 最优控制理论是控制理论的一个重要分支，它致力于寻找能够使系统性能指标达到最优的控制策略。这一理论在解决复杂系统的设计问题时具有显著优势，因为它能够通过数学模型来精确地描述和优化系统的动态行为。 庞特里亚金最大值原理是这一领域的基石之一，由前苏联数学家庞特里亚金于1958年提出。该原理指出，一个最优控制问题的解决方案可以通过找到一个满足特定条件的泛函极大化路径来获得。在这个过程中，涉及到一个称为拉格朗日乘子的辅助变量，它与系统的动态方程和性能指标相结合，形成一个所谓的哈密顿函数。最优控制就是使这个哈密顿函数达到最大或最小值的控制输入。 贝尔曼的动态规划方法则提供了一种从时间序列的角度解决问题的方法，特别适用于离散时间系统。1957年，理查德·贝尔曼提出了这个概念，它基于将问题分解为一系列子问题并逐个解决的思想，每个子问题的解决方案都依赖于其后续状态的最优决策。这种方法通常用于处理带有累积成本或奖励的优化问题，并通过迭代过程逐步优化整个系统的性能。 最优控制问题的一般概念包括定义问题的数学模型、状态方程、性能指标以及约束条件。例如，最速升降问题就是一个典型的最优控制问题，目标是在有限的外部作用力下，使物体以最快的速度到达地面，并且在到达时速度为零。这个问题需要建立物理模型，如牛顿第二定律，然后用数学语言表述目标和约束，最后利用最优控制理论来求解控制输入函数。 课程中还将涉及最优控制的变分法，这是一种寻找问题解的工具，通过变分原理来确定满足特定边界条件的最优路径。极小值原理是变分法的一个应用，它在许多工程问题中被广泛采用，如航天器轨道控制和自动化系统的优化设计。 线性二次型最优控制问题则是最优控制理论中的一个重要特例，它处理的是状态和控制输入均为线性组合的性能指标。这类问题的解决方案可以借助拉格朗日-克雷洛夫方程和卡尔曼滤波理论，对于许多实际工程应用来说，提供了计算上可行的解析解。 最优控制理论结合了数学、物理学和工程学，为解决复杂的动态系统优化问题提供了有力的理论支持和实用方法。通过学习和应用这些理论，工程师可以设计出更为高效、精密的控制系统，尤其是在航空航天、机器人、能源管理等领域有着广泛的应用。