并查集与最小生成树：城市单位划分算法详解

本资源介绍了经典计算机科学问题——最小生成树及其在ACM编程竞赛中的应用，以杭州电子科技大学刘春英教授的ACM课程为例。最小生成树是一个带权图中的概念，它是指一个连通且没有环的子图，所有顶点之间的边权之和最小。在这个问题中，给定一个城市的居民关系网络，目标是确定最大的单位数量，即在不形成环的情况下，最大可以分成多少个互不相交的群体。 首先，我们回顾并查集（DisjointSet）这一数据结构，它是解决此类问题的关键工具。并查集是一种用于表示不相交集合的数据结构，包含两种基本操作：合并两个集合（Merge）和查找某个元素属于哪个集合（Find）。并查集中，常用的方法有两种： 1. 方法一： - 使用最小编号代表集合，通过数组`set`记录每个元素所属的集合。 - `find1`操作的时间复杂度为常数级`Θ(1)`，但合并操作可能需要遍历整个集合，最坏情况下时间复杂度为`Θ(N)`。 2. 方法二： - 每个集合用一个有根树表示，`set[i]`等于i表示i是集合的根，`set[i]`不等于i表示i的父节点。 - `find2`操作通过路径压缩（自底向上查找根节点）实现，时间复杂度也是`Θ(1)`。 - 合并操作只需将一个集合的根指向另一个集合的根，平均情况下的时间复杂度为`Θ(1)`，但在最坏情况下仍为`Θ(N)`，因为可能需要将所有节点路径压缩。 为了提高性能并避免最坏情况，可以采用优化策略，如合并时优先将较深的树合并到较浅的树上，这样可以保持合并后的树高度较低。这可以通过计算两个树的深度之和来决定合并顺序，以确保每次合并操作后树的高度有所降低，从而提高整体效率。 在实际的ACM编程竞赛中，理解并查集和最小生成树算法的应用至关重要，尤其是在处理社交网络问题、图论优化等场景。掌握这些算法不仅可以解决类似杭电ACM课程中的问题，也能在各种编程挑战中展现出扎实的算法基础。