西安交大数值分析课件：高斯消元法的元素储存与计算优化

在西安交通大学的数值分析课程讲义中，第二章主要探讨了线性代数方程组求解中的元素储存及计算顺序，特别是针对高斯消去法（Gaussian elimination）。这种方法的核心思想是通过一系列的行操作（如交换、倍增和替换）来逐步简化系数矩阵A，使得原方程组Ax=b可以转化为更易处理的形式。 在高斯消去法中，首先计算出矩阵A的上三角矩阵T，这个过程涉及到对当前行（第i行）与之前已处理行（1到i-1行）元素的乘积，记作T=LD，其中L是左乘因子，D是上三角矩阵。这些计算的结果存储在A矩阵的对应位置，以减少存储量，因为每个元素只被存储一次。这种存储方式相较于全矩阵消元法节省了一半的空间，但比平方根法（如LU分解）多占用一个单元内存。 高斯消除法的优点在于计算相对简单，因为它避免了开方运算等复杂的数学操作，因此在实现上更为直观且易于编程。然而，它的一个显著缺点是储存量较大，因为即使已经简化为上三角矩阵，原始矩阵的信息仍然需要保留。此外，透明度较差，即方程的结构不易于直观理解。 在具体步骤上，比如对于3x3的方程组，会先计算出第i行的元素lij，并将其存储在A的相应位置，同时计算出di（常数项）。这个过程会重复进行，直到处理完所有行。整个过程中，方程组的系数矩阵A、右端向量b以及中间变量的更新构成了关键步骤。 尽管高斯消去法在计算效率上优于克莱姆法则（Cramer's rule），后者依赖于矩阵行列式的计算，其复杂度为O(n!)，对于大规模的方程组来说，计算成本极高。相比之下，高斯消去法的时间复杂度为O(n^3)，尽管不如直接法那么高效，但对于实际应用中的大部分线性方程组，它是首选的求解策略。 总结来说，西安交大的数值分析课件第二章深入讲解了高斯消去法在元素储存和计算顺序上的细节，强调了其实用性和局限性，为学生提供了理解并应用这一经典求解线性方程组方法的重要基础。