EM算法详解：从概念到迭代求解

"EM算法是一种迭代优化方法，常用于处理含有隐含变量的概率模型参数估计问题。该算法在每一轮迭代中包含期望（E）步和最大化（M）步，逐步逼近参数的最大似然估计值，直至算法收敛。下面将详细阐述EM算法的基本原理和应用。 EM算法的核心在于将原问题分解为两部分：已观测数据和未观测（或隐含）数据。在本例中，已观测数据是实验结果的次数y1、y2、y3、y4，而未观测数据z1和z2是对应每个结果发生的概率。通过引入这些未观测变量，我们可以构建更复杂的模型，但同时也带来了求解的困难，因为直接求解可能会导致高次幂的复杂性。 在E步（期望步骤），目标是利用当前的模型参数估计来计算未观测数据的期望值。在这个例子中，由于z1和z2的取值未知，但它们遵循二项分布，我们可以利用这个信息计算它们的期望。E步的关键是找到一种方式来表示这些潜在变量的期望，以便在下一步中使用。 在M步（最大化步骤），我们固定了E步得到的期望值，并最大化似然函数，即调整模型参数以最大化考虑到未观测数据期望后的似然。在这个例子中，我们通过对似然函数取对数并求偏导数来找到θ的最优值，同时消去了E步中计算的期望值，使得问题简化为可解的形式。 EM算法的优势在于它能处理含有隐含变量的复杂模型，并且在每一步迭代中都能保证模型的似然性不降低。随着迭代的进行，模型参数通常会逐渐改进，直到达到一个局部最优解或全局最优解。然而，EM算法并不保证一定能找到全局最优解，但通常在实践中能够找到接近最优的参数估计。 EM算法广泛应用于统计学、机器学习和信号处理等领域，例如混合高斯模型的参数估计、隐马尔科夫模型的学习以及缺失数据的处理等。其灵活性和实用性使其成为解决有隐含变量问题的强大工具。在实际应用中，为了确保算法的收敛和避免陷入局部最优，通常需要设置合理的初始化参数和迭代次数限制。"