算法设计分析：递归问题与排序算法解析

"这些题目来自一个关于算法设计与分析的测验题库，涵盖了n皇后问题、汉诺塔问题、递归算法的时间复杂度分析、数组最大值的递归求解、归并排序和快速排序等核心概念。" 在这些题目中，我们可以深入探讨以下几个重要的算法设计与分析知识点： 1. **n皇后问题**： - n皇后问题是一个经典的回溯法问题，目标是在n×n的棋盘上放置n个皇后，使得任意两个皇后都无法互相攻击（即不在同一行、同一列或同一斜线上）。题目中的`queen(i,n)`表示已放置好前i-1个皇后，现在考虑第i行至第n行的皇后放置，queen(i,n)是一个大问题，而queen(i+1,n)是它的一个子问题，因此是小问题。 2. **汉诺塔问题**： - 汉诺塔问题是一个典型的递归问题，问题求解过程是递归的，而非定义或数据结构。它的基本思想是将所有盘子从一个柱子移动到另一个柱子，每次只能移动一个盘子，并且任何时候大盘子都不能位于小盘子之上。 3. **递归方程的时间复杂度分析**： - 题目中的递归方程`T(n)=2T(n/2)+n`符合分治算法的特性，其时间复杂度为O(nlogn)，这是因为它每次将问题规模减半，并添加一个线性操作。 4. **递归求解整数数组的最大值**： - 用递归法求解数组最大值的问题，递归模型应为：当i=1时，最大值是第一个元素；当i>1时，最大值是当前元素与前i-1个元素中最大值的较大者。对应选项B描述了这个递归过程。 5. **自底向上的归并排序**： - 归并排序通常采用分治策略，自底向上版本的归并排序先进行一系列的合并操作（MergePass），然后在最后一步将整个数组合并。因此，MergeSort()会先调用MergePass()，然后MergePass()调用Merge()来合并子数组。 6. **快速排序**： - 快速排序是一种高效的排序算法，基于“分区交换”操作。对于序列{5,8,3,2,7,1,9}，第一趟的结果可能是将序列分为两个部分，左边小于或等于枢轴（这里假设枢轴为5），右边大于枢轴，因此可能的结果是{3,2,1,5,7,8,9}。 7. **分治法**： - 分治法的基本原则是将大问题分解为规模较小但性质相同的子问题，然后分别解决子问题，最后合并子问题的解。所以正确选项是C，问题规模不相同，但问题性质相同。 这些题目覆盖了算法设计的关键概念，包括递归、回溯、排序算法以及问题分解策略，是理解和掌握算法分析的典型练习。