二维图形变换：平移与矩阵详解

"平移变换是图形几何变换的一种，它涉及将图形中的每个点按照特定的规则移动到新的位置。在二维空间中，一个点（x, y）平移到（x*, y*）的位置，可以通过一个2x2的平移矩阵实现，该矩阵的形式为 [[1, 0], [0, 1]] 加上一个平移向量 [[c], [f]]，其中c代表沿x轴的平移距离，f代表沿y轴的平移距离。变换后的坐标计算公式为 (x + c, y + f)。 在更复杂的场景中，如CAD/CAM技术，图形的几何变换不仅包括平移，还包括缩放、旋转、对称、错切等多种操作。这些变换通常通过变换矩阵来执行，例如一个3x3的齐次变换矩阵可以表示二维图形的各种基本变换。变换矩阵[T]的结构为： \[ \begin{bmatrix} a & b & e \\ c & d & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 其中，a、b、c、d用于缩放、旋转和错切，e、f用于平移，而0和1确保了齐次坐标的性质。对于三维图形，变换矩阵通常是4x4的，以适应额外的z轴平移和其他三维变换。 点的变换是通过将点的位置向量与变换矩阵相乘来完成的。如果一个点的坐标表示为 [[x], [y], [1]]（引入齐次坐标以容纳平移），那么变换后的坐标 [[x'], [y'], [1']] 可以通过以下运算获得： \[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & e \\ c & d & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \] 在实际应用中，如计算机图形学和CAD软件，图形是由顶点坐标、顶点间的拓扑关系和面、线表达模型定义的。图形的几何变换就是对这些顶点坐标进行变换。对于包含多个点、线、面的图形，可以通过将所有顶点的坐标矩阵V与变换矩阵T相乘得到变换后的顶点坐标矩阵V*。 图形变换矩阵的求解是图形处理的关键。在二维图形中，变换矩阵有特定的形式，而在三维图形中，除了基本的平移、旋转、缩放外，还可能涉及到透视变换，这需要4x4的矩阵来描述，如视点的位置、视角等参数。 平移变换是图形处理的基础，通过矩阵运算可以实现各种复杂的图形变换，从而在二维和三维空间中创造出丰富多样的视觉效果。理解并掌握这些变换矩阵的使用，对于进行计算机图形学编程和CAD/CAM技术的应用至关重要。"