使用Prim算法求解图的最小生成树

"本文档介绍了图的最小生成树算法，特别是Prim算法的实现。 Prim算法是一种在加权无向图中寻找最小生成树的经典算法，其目标是在保证连接所有顶点的前提下，使得所有边的权重之和最小。文档中的代码展示了如何用C++实现Prim算法，并给出了一个简单的输入处理示例。" 在图论和算法领域，最小生成树是一个重要的概念。它是指在一个加权无向图中，由图中的一组边构成的树，这棵树包含了图中的所有顶点，并且所有边的权重之和尽可能小。最小生成树可以用于各种实际问题，如网络设计、运输规划等，帮助我们找到成本最低的解决方案。 Prim算法是解决这个问题的一种方法，它的基本思想是从一个起始节点开始，逐步扩展树，每次添加一条与当前树连接的新节点并具有最小权重的边。在这个过程中，算法维护一个已访问节点集合和一个未访问节点集合。起始节点通常选取任意一个节点，然后在未访问节点中寻找与已访问节点相连的边中权重最小的一个，将其加入到已访问集合中。这个过程重复，直到所有节点都被包含在内。 在给出的代码中，`Prim` 函数实现了Prim算法的基本逻辑。首先，它使用一个二维数组 `g` 来表示图的邻接矩阵，初始化所有边的权重为一个非常大的值（无穷大）。接着，通过一个布尔数组 `st` 来记录节点是否已被访问，`dist` 数组存储每个节点到已访问节点集合的最短距离。函数的主要循环遍历所有未访问的节点，找到距离最小的节点并将其加入已访问集合，同时更新其他节点到集合的最小距离。最后，累加所有节点的最小距离得到最小生成树的权重和。 在 `main` 函数中，首先读入图的节点数 `n` 和边数 `m`，然后读取每条边的两个端点 `u` 和 `v` 及其权重 `w`，并更新邻接矩阵 `g` 的值。调用 `Prim` 函数得到最小生成树的权重和，如果权重和为初始的无穷大值，说明图是不连通的，输出 "impossible"；否则，输出最小生成树的总权重。 Prim算法是构建加权无向图最小生成树的有效方法，它的核心在于不断寻找与已构建树连接的最小权重边，以最小化总体成本。在实际应用中，Prim算法通常与Kruskal算法一起被考虑，它们各有优缺点，适用于不同的场景。Kruskal算法倾向于从边的角度出发，按权重从小到大依次考虑边，避免形成环路，而Prim算法则从节点角度出发，逐步构建树。