福特-弗洛克森算法：最大流与增广路详解

本文档主要介绍的是关于算法模板中的经典案例——最大流问题，特别是使用Ford-Fulkerson算法来解决。最大流问题旨在寻找网络中从源点到汇点的最大流量，同时保证网络中流量守恒，即每条边的流量不超过其容量。 Ford-Fulkerson算法是基于深度优先搜索（BFS）的一种贪心策略，通过不断寻找并增加增广路径来逐步增加最大流。 算法模板首先定义了一个二维数组 `g[][]` 表示原始图的容量矩阵，其中 `g[v][i]` 表示从顶点 `v` 到顶点 `i` 的边的容量。另一个二维数组 `flow[][]` 用于记录实际流量，初始时所有流量为0。整个算法涉及的关键步骤包括： 1. **Ford-Fulkerson最短扩充路**： - 使用 `bfs()` 函数进行广度优先搜索，从源点 `s` 开始，寻找可达的节点。函数返回值为1表示找到一条增广路，0表示没有找到。 - 在 `bfs()` 函数中，维护一个队列 `que` 和两个指针 `p` 和 `q`，用于存储待访问的节点和已访问节点。当找到一个未访问过的节点且可以从它到达汇点 `t` 时，返回1。 2. **修改残留网络和增广路**： - `track_back()` 函数用来沿着增广路调整残余网络（即更新 `g[][]` 和 `flow[][]`），确保流量只在可逆方向流动，且尽可能多地增加流量。`min` 变量记录了当前增广路径上可以增加的最小流量。 3. **计算最大流**： - 主函数 `max_flow()` 通过不断调用 `bfs()` 和 `track_back()` 直到无法找到增广路为止，返回从源点 `s` 到汇点 `t` 的最大流量。 这个模板展示了如何使用 Ford-Fulkerson算法求解最大流问题的基本流程，包括网络的预处理、增广路的查找以及流量的更新。在实际编程中，根据具体的网络结构和需求，可能还需要添加错误处理、边界条件检查等部分。理解和掌握这个算法模板对于理解大规模数据传输和优化网络设计至关重要，尤其是在网络流理论、图算法和数据结构等领域有广泛应用。