"随机试验的样本空间及概率分析"

《概率论与数理统计》习题1解答（1/15） 1. 写出下列随机试验的样本空间Ω： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； 分析：只考虑每位同学的分数都是整数的情况。设该班有n名同学，那么全体同学的考试分数之和M就可以是0到n100之间的任意整数（包括0分和n100分），所以所有可能的平均分数就是nM。 解答：设该班有n名同学，则样本空间为{100, 99, 98, ..., 2, 1, 0}，即Ω={n100, (n-1)100, (n-2)100, ..., 200, 100, 0}。 （2）生产某种产品直到有10件正品为止，记录此过程中生产该种产品的总件数； 分析：根据题意，生产出10件正品试验就停止，要生产出10件正品，最少需要生产10件产品（这10件刚好都是正品），也有可能一直生产次品而凑不够10件正品必须一直生产下去，所以生产的产品总件数是没有上限的。因此样本空间应该是10到正无穷的整数。 解答：样本空间为{10, 11, 12, 13, ...}，即Ω={10, 11, 12, 13, ...}。 说明：也可写成{10, 11, 12, 13, ..., n}，但不能写成{10, 11, 12, 13, ..., n}，因为生产的产品总件数没有上限。 （3）对某工厂出厂的产品按顺序检查，直到发现第1个次品为止，记录检查的产品总数； 分析：类似于（2），但区别是这次记录的是检查的产品总数而不是生产的产品总数。 解答：样本空间为{1, 2, 3, ...}，即Ω={1, 2, 3, ...}。 2. 设A和B是样本空间Ω的两个事件，如果P(A) = 0.6，P(B) = 0.4，P(A∩B) = 0.2，求P(A∪B)、P(A|B)和P(B|A)。 分析：根据概率的加法公式、条件概率的定义和全概率公式。 解答：由概率的加法公式，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8。 由条件概率的定义，P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.2 / 0.4 = 0.5。 由全概率公式，P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0.2 / 0.6 = 1/3。 3. 设Ω={1, 2, 3}，对任一事件A，假设P(A) = 0.2，求P(Ω-A)。 分析：Ω-A表示事件A的对立事件，即Ω-A={x|x∈Ω，x∉A}。 解答：P(Ω-A) = 1 - P(A) = 1 - 0.2 = 0.8。 4. 一个班级有25名学生，其中15名男生、10名女生。从中任取1名学生，求取到女生的概率。 分析：根据概率的定义和计数原理。 解答：P(取到女生) = 取到女生的数量 / 总数 = 10 / 25 = 2/5。 5. 在一批产品中，次品占20%，已知某产品不是次品，求其为合格品的概率。 分析：根据全概率公式和条件概率的定义。 解答：设事件A为产品为合格品，事件B为产品不是次品，则P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = (1-0.2) / (1-0.2) = 0.8。 6. 设事件A、B互斥，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，求P(A∪B)。 分析：事件A、B互斥意味着A与B不可能同时发生，根据概率的加法公式。 解答：P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.4 + 0.3 = 0.7。 7. 对于事件A、B，若P(A) = 0.6，P(B|A) = 0.4，P(Ω-A) = 0.3，求P(A∩B)。 分析：根据条件概率的定义和P(Ω-A) = 1 - P(A)。 解答：P(B|A) = P(A∩B) / P(A) → P(A∩B) = P(B|A) * P(A) = 0.4 * 0.6 = 0.24。 以上是《概率论与数理统计》习题1第1题的解答部分。 by Frank Zhao P29 习题 1 1.