动态规划求加分二叉树最高加分与前序遍历

加分二叉树是一种特殊的二叉树问题，涉及动态规划中的递归和自底向上的方法来求解。给定的二叉树中，每个节点都有一个正整数分数，其值记为di。问题的目标是找到一种中序遍历为1,2,3,...,n的二叉树，使其加分最高。加分规则是根据子树的左右子树加分和根节点分数相乘计算，如果子树为空，规定其加分为1。 动态规划在这个问题中的应用体现在对子问题的重复计算进行避免，通过保存已解决子问题的结果，减少计算量。关键点包括： 1. **无后效性**：动态规划假设后续状态不受早期状态影响，每个节点的状态只依赖于其子节点的状态，而不是整个历史。 2. **最优子结构性质**：问题的全局最优解可以通过解决其子问题的最优解组合得出，即子问题的最优解决定了原问题的最优解。 3. **状态定义和转移方程**：定义状态，例如每个节点的加分作为状态，然后通过子树加分和根节点分数的关系，构建递归公式计算最优加分。 4. **计算策略**：从最小或最简单的子问题开始，逐步构建并存储最优解，最终得到整个树的最高加分。 例如，考虑一个具体的动态规划过程，如拦截导弹问题，它可能涉及状态表示为导弹路径的组合及其对应的得分，通过比较不同路径的得分来确定最优策略。对于加分二叉树，可能的状态定义为从根节点开始的路径，路径上的分数乘以子树的加分。 **求解步骤**： 1. 定义状态：用dp[i]表示以节点i为根的子树的最高加分。 2. 状态转移方程：dp[i] = max(dp[lchild] * dp[rchild] + d[i], d[i])，其中lchild和rchild分别是节点i的左子节点和右子节点。 3. 边界条件：对于根节点，dp[1] = d[1]，因为只有一个节点的子树加分即为节点本身分数。 4. 自底向上计算：从叶子节点开始，逐层向上计算dp值，直至达到节点n。 5. 最终结果：dp[n]即为整个树的最高加分，同时通过回溯找到对应的最优路径，即前序遍历。 通过这些步骤，我们可以有效地运用动态规划技术找到加分二叉树的最优结构和最高加分。