Dijkstra算法详解：寻找图中单源最短路径

"图解迪杰斯特拉（Dijkstra）最短路径算法" 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法是计算机科学中用于寻找图中单源点最短路径的经典算法，由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出。此算法适用于带权有向图或无向图，特别适用于寻找从源点到图中所有其他节点的最短路径。 在理解Dijkstra算法之前，我们需要了解几个关键概念。首先，源点是路径的起点，而终点是路径的结束点。在一条路径中，源点是第一个节点，终点是最后一个节点。最短路径可以分为两种情况：在非带权无向图中，最短路径是指边数最少的路径；而在带权图中，最短路径则是指从源点到终点的权值之和最小的路径。 Dijkstra算法的基本思想是采用贪心策略，逐步扩展最短路径树，直到覆盖整个图。算法的核心是一个优先队列，用于存储待处理的节点，并按照当前找到的最短路径长度进行排序。算法的步骤如下： 1. 初始化：设置源点的最短路径长度为0，其他所有节点的最短路径长度设为无穷大。创建一个空的最短路径集合，将源点加入其中。 2. 对于每个未处理的节点，从当前已知的最短路径集合中选择一个具有最短路径长度的节点（即优先队列中最小的节点）。 3. 更新该节点的邻居：检查该节点的所有邻接节点，如果通过当前节点到达邻居的路径比已知的最短路径更短，就更新邻居的最短路径长度。 4. 将更新后的节点加入最短路径集合，并从优先队列中移除。 5. 重复步骤2-4，直到优先队列为空，即所有节点都已被处理。 在这个过程中，数组D用来记录从源点到每个节点的当前最短路径长度，而数组P则存储了路径向量，表示从源点到每个节点的最短路径上的前驱节点。Final数组作为标记，表明节点是否已经找到最短路径。 Dijkstra算法的时间复杂度主要取决于优先队列的操作，如果使用 Fibonacci heap，时间复杂度可以达到O((E+V)logV)，其中E是边的数量，V是节点的数量。在实际应用中，例如在网络路由、道路规划等领域，Dijkstra算法能够有效地计算出最小代价的路径。然而，对于负权重的边，Dijkstra算法无法正确工作，此时需要采用其他算法，如Bellman-Ford算法。 Dijkstra算法是图论中的一个重要工具，它通过不断迭代和优化，确保每次扩展的都是当前已知的最短路径，从而逐步构建出源点到所有节点的最短路径。在学习和使用数据结构与算法的过程中，掌握Dijkstra算法对于解决实际问题具有重要意义。