图数据结构详解：有向图、无向图与最短路径算法

本文主要介绍了图这一数据结构的相关概念，包括图的定义、术语、有向图和无向图的区别，以及与图相关的各种特性，如顶点的度、路径、回路、连通性等。同时，提到了图的权值、子图的概念，并讨论了有向完备图和无向完备图的最大边数。此外，还涉及到了最短路径算法，特别是Dijkstra算法的一个例子，以及算法的时间复杂度分析。 正文： 在计算机科学中，图是一种重要的数据结构，它用于表示对象之间的关系。图G由两部分组成：顶点集合V(G)和边集合E(G)，通常表示为G=(V,E)。顶点集合是非空有限集，而边集合可以是无序对或有序对，具体取决于图是有向还是无向。在有向图中，边是以顶点的有序对形式存在，称为弧，而在无向图中，边是顶点的无序对。 图的度是衡量一个顶点与其他顶点连接程度的量。在无向图中，顶点的度等于与其相连的边的数量；而在有向图中，度被分为入度（作为弧头的边数）和出度（作为弧尾的边数）。例如，如果一个顶点有三条出边和两条入边，它的出度是3，入度是2。 连通性是图的另一个关键属性。如果在图中可以从一个顶点V到达另一个顶点W，即存在一条从V到W的路径，那么V和W是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，那么这个图被称为连通图。反之，非连通图的各个连通部分称为连通分量。 路径和回路是图中的基本概念。路径是一系列连续的边连接的顶点序列，回路则是从起点回到起点的路径。简单路径和简单回路要求路径或回路中的顶点不重复出现，除了起点和终点。图的权值通常与边相关联，表示边上的某种量或成本，这样的图被称为网。 在图算法中，寻找最短路径是一个常见的任务。例如，Dijkstra算法是一种解决此类问题的有效方法。在这个例子中，给出了一个Dijkstra算法的运行情况，计算了某个起点到其他所有顶点的最短路径。通过dist和pre数组，我们可以看到每个顶点的最短路径距离以及前驱顶点，这有助于重建最短路径。算法的时间复杂度为T(n)=O(n²)，意味着对于n个顶点的图，Dijkstra算法的执行时间大致与n的平方成正比。 图数据结构及其相关概念在许多领域都有应用，如网络路由、社交网络分析、物流规划等。理解这些基本概念是进一步学习图论和图算法的基础。