最小代价子数组与最大价值取数策略

动态规划是一种在计算机科学中广泛应用的算法策略，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。在给定的代码片段中，我们看到的是一个关于最小代价子母树的问题，目标是在一个数组`gra[]`中选择若干个连续元素形成一个子数组，使得这个子数组的总代价最小。这里的代价定义为从子数组左侧到右侧每对相邻元素之间的差值（`g[i][j] = g[i][j-1] + gra[j]`），而取数的价值是取数位置i到j的元素乘以其在数组中的索引（`i * A_j`）。 代码首先通过读取数组长度`n`和元素值初始化了`gra[]`和`g[]`数组。接着，计算了两两元素间的代价，用`f[i][j]`表示从位置i到j选取子数组的最小代价。初始情况下，如果i和j不相等，则代价设为无穷大（0），即不允许选取非连续元素。 核心部分是动态规划循环，通过穷举堆数（从2到n）和起点i（从1到n-p+1），确定每个子数组的起始和终点（j）。在内层循环中，通过比较当前子数组的成本与将两个较小子数组合并后的成本，更新`f[i][j]`。这个过程遵循状态转移方程，确保每个子问题只被计算一次，体现了动态规划的无后效性。 具体来说，状态转移方程是： `f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + g[i][j])`，这里k表示在i和j之间的某个位置，选择将子数组分为两段，然后将它们的代价和加上连接这两段的代价。通过这种方式，逐步构建最优解，直到遍历完整个数组。 题目描述中的“取数”问题，要求找到从数列`A[]`中选取一系列数，使得取走这些数的总价值最大，且每次只能从左端或右端选取一个数。给定的限制条件是数组长度`N`不超过2000，每个元素`A_i`的值不超过1000。输入部分包括一个整数N，后面跟着N行整数表示数组A，输出则是最大价值之和。 总结起来，这段代码展示了如何运用动态规划解决一个典型的问题，即寻找具有最优子结构的决策问题，通过不断分解问题并保存中间结果，避免重复计算，最终找到全局最优解。这种技术广泛应用于诸如最短路径、背包问题、序列比对等众多领域。