牛顿迭代法的Kantorovich收敛性：常秩非线性方程组的解求

本文探讨的是"具有常秩导数非线性方程组的牛顿迭代的Kantorovich型收敛性"这一主题，发表于2006年的《浙江师范大学学报（自然科学版）》。研究关注的是一类特定类型的超定非线性方程组，该方程组的关键特性在于其具有常秩的Fréchet导数，并且这个导数满足Lipschitz条件。Lipschitz条件对于保证函数在局部的光滑性和稳定性至关重要。 文章的焦点在于牛顿迭代法的收敛性分析。牛顿迭代法是一种常见的求解非线性方程的方法，当函数f的Fréchet导数可逆时，从给定的初始值开始，通过迭代公式（1）进行求解，理论上可以快速逼近零解。然而，当导数不可逆时，如文中所述，会采用Moore-Penrose广义逆来替代导数的逆，确保算法的连续性。 作者首先讨论了牛顿法的一般形式，包括方程的设置和迭代过程。然后，文章指出已有的牛顿迭代法收敛性研究主要分为两种类型：Kantorovich型定理和Smale的α理论。Kantorovich定理依赖于f''（x）在某区域上的有界性，从而使得f'（x）满足Lipschitz条件，这对于证明全局或局部收敛性非常重要。另一方面，Smale的α理论则利用了函数在某些区域上的解析性质。 在本文中，作者提出了一个新的发现，即当函数f在迭代初始值满足一个简单条件后，不仅能够保证在初始值附近存在最小二乘解，而且牛顿迭代法对于这些最小二乘解表现出线性收敛性。这是一项重要的理论成果，因为线性收敛性意味着随着迭代次数的增加，解与真实解之间的差距将以恒定的比例减小，对于实际问题的数值计算具有重要意义。 文章的关键词包括牛顿迭代、超定方程组、Moore-Penrose广义逆、Lipschitz条件、收敛性以及秩，这些都是讨论的核心概念，贯穿全文。作者的研究不仅扩展了牛顿迭代法的理论基础，也为解决实际问题中的非线性方程组提供了一个新的收敛性分析工具。这篇论文为非线性方程组求解算法的研究领域做出了重要贡献。