矩阵数组形式下的多维泊松方程及其可解性判定

本文标题《多维离散Poisson方程的矩阵-数组形式及其可解性的判定》由中国科技论文在线首发，作者是王通、葛耀君和曹淑阳，他们来自同济大学的灾害防治国家重点实验室。该研究得到了国家自然科学基金（No.50978202）以及NSFC-JST合作研究项目（No.51021140005）的支持。 文章的核心内容主要聚焦在多维离散Poisson方程（MDPE），这是一种在科学与工程领域中常见的数学模型。传统上，MDPE可以表示为一个复杂的系统方程。然而，作者首次提出了一个创新的矩阵-数组形式，这个形式将多维问题简化为一系列小型矩阵的组合。通过使用克罗内克和（Kronecker sum），这些小型矩阵被组织成一个熟悉的线性代数系统，即AX=b，其中A是大型矩阵，X是未知向量，b是常数向量。 文章的关键贡献在于证明了矩阵A的特征值和对应的特征向量可以直接由构成矩阵-数组中的那些小型矩阵的特征值和特征向量得到。这一发现极大地简化了解决多维Poisson方程的步骤，因为通常计算大型矩阵的特征值和向量是一项复杂的任务，而通过这种新的形式，可以将大问题分解为更易于处理的小部分。 作者们进一步基于这个联系，探讨了矩阵-数组形式下求解MDPE的可解性条件，这涉及到对小型矩阵特征值性质的深入理解。他们可能提供了算法或理论分析，以确保当矩阵-数组形式满足特定条件时，对应的Poisson方程有解，或者如何确定解的存在性。 这篇首发论文不仅提供了一种新颖的数学工具来处理多维离散Poisson方程，还对其可解性进行了深入的理论分析，这对于数值分析、工程计算和科学建模等领域具有重要意义。通过这个矩阵-数组形式，复杂的问题得到了直观且高效的处理，为后续研究者解决类似问题开辟了新的途径。