数字信号处理习题详解：周期性、序列表示与系统性质分析

"数字信号课后习题答案，包含从第一章开始的全部习题解答，适合学习和交流" 本文将深入探讨数字信号处理相关的知识点，基于给出的习题内容，包括序列表示、周期性、线性非时变系统以及因果稳定性的判断。 1. 序列表示与波形绘制 在数字信号处理中，序列的表示通常采用单位脉冲序列的加权和形式。例如，题目中提到的序列可以用延迟的单位脉冲序列来表示。对于给定的信号x(n)，可以通过调整延迟和权重来构建序列的波形。在问题2中，通过绘制序列的波形并利用延迟和加权来表示不同形式的序列，展现了这一概念的实际应用。 2. 序列的周期性 周期序列是那些具有固定重复模式的序列，它们的周期可以由序列元素的间隔确定。如题目中所示，(1)[pic] 是周期序列，周期T=14，因为它是有理数。相反，(2)[pic] 是非周期序列，因为π是无理数，无法找到一个整数倍使得序列重复。 3. 线性非时变系统 线性非时变（LTI）系统是数字信号处理的基础，满足两个关键性质：线性和时不变性。线性意味着系统的输出是输入的线性组合，时不变则意味着系统的响应不随时间改变。在问题5中，通过检验输入和输出的关系，我们能判断系统是否满足这两个条件。例如，(1)和(3)被证明是LTI系统，而(5)是线性但时变的，(7)则是时变但线性的。 4. 因果稳定系统的判断 在问题6中，我们关注的是系统是否为因果稳定系统。一个因果系统仅依赖于过去的或当前的输入，而不是未来的输入。稳定性则意味着系统的响应不会无限增长。例如，(1)的差分方程表明它是一个因果系统，因为输出只与当前及之前的输入有关。系统的稳定性通常通过Z变换或者Lyapunov稳定性理论进行分析，这里未提供具体方法，但在实际分析中是必要的步骤。 总结来说，这些习题覆盖了数字信号处理的核心概念，包括序列表示、周期性、线性非时变系统的性质以及因果稳定性的判断。理解和掌握这些知识点是进一步研究数字信号处理、通信系统和信号分析的基础。通过解决这些习题，学生能够深化对这些概念的理解，提高分析和解决问题的能力。